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Giancarlo Ragozini » 16.Elementi di calcolo delle probabilità


La Statistica

  • Gli strumenti della statistica descrittiva permettono di sintetizzare e descrivere un insieme di dati
  • La teoria della probabilità è usata per modellare l’incertezza e la variabilità della realtà, per poi poterla misurare e controllare (non eliminare).
  • Le tecniche della statistica inferenziale, sulla base del calcolo delle probabilità che permettono di calcolare la verosimiglianza di osservare o selezionare un particolare campione da una certa popolazione, consentono di trarre inferenze o conclusioni sulla popolazione a partire dal campione.
Relazione tra la probabilità e la statistica inferenziale

Relazione tra la probabilità e la statistica inferenziale


Costruzione di un modello

Componenti di un modello = parte deterministica (sistematica) + parte aleatoria (residua)


Modello probabilistico (statistico)

  • Nel modello probabilistico si introduce una variabile residuo (o errore) che ha una distribuzione di probabilità (nel senso che ogni errore assumerà valori diversi con frequenze diverse)
  • Di conseguenza anche per il dato si può dare una distribuzione di probabilità

Formalmente

Un modello statistico è una coppia di (Y, P)

  • con Y insieme di tutte le osservazioni possibili
  • con P legge di probabilità su Y

Modello probabilistico (statistico)

In un modello probabilistico possono essere noti/incogniti:

  • La relazione funzionale
  • Gli elementi caratterizzanti la distribuzione P

Spesso gli elementi incogniti sono traducibili in parametri

Significato del modello probabilistico

  • Esiste una ben definita popolazione di individui e gli individui osservati nel campione sono estratti da P in modo casuale. Il modello probabilistico specifica le proprietà dell’intera popolazione. La popolazione è reale e potrebbe (in principio) essere misurata completamente.
  • Le osservazioni sono fatte su un sistema soggetto a fluttuazioni casuali e la distribuzione nel modello specifica cosa accadrebbe se, ipoteticamente, osservazioni venissero ripetuti in identiche condizioni.

Popolazione ipotetica

Individuazione del modello per prova ed errore

  • Analisi preliminari
  • Costruzione di un modello possibile
  • Diagnostica
  • Riformulazione del modello

Uso dei modelli probabilistici

I modelli probabilistici permettono di valutare l’incertezza delle conclusioni nell’analisi di problemi reali.

I problemi reali si traducono, all’interno di un modello probabilistico, in:

  1. Ricerca di un valore per un parametro incognito (stima puntuale)
  2. Ricerca di un insieme di valori verosimilmente per un parametro incognito (stima per intervalli)
  3. Problema di verifica di ipotesi
  4. Problema di previsione

Definizione di probabilità

Concetto e misura della probabilità

Concetto primitivo, cioè originario per l’essere umano perché innato e sempre presente nelle sue regole di comportamento.

Concetti primitivi

  • La prova è un esperimento che ha due o più possibili risultati con esito incerto
  • Per evento si intende uno dei possibili risultati della prova il cui verificarsi non è prevedibile
  • La probabilità è un numero che misura il grado di incertezza sul verificarsi di un evento. È una misura perché associa al concetto primitivo una valutazione numerica.
Esperimento casuale

Esperimento casuale

Esperimento casuale

Esperimento casuale


Possibili definizioni: Definizione classica

  • Data una partizione di eventi equiprobabili, la probabilità di un risultato è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di quel risultato e il numero totale dei risultati possibili.
  • Questa definizione si può usare solo per fenomeni tipo quelli relativi al gioco dei dadi o delle carte, quindi serve poco per i fenomeni reali.
Probabilità classica

Probabilità classica

Probabilità classica

Probabilità classica


Definizione frequentista

Definisce la probabilità come il limite del rapporto tra il numero di volte che un risultato si è presentato, in una serie di prove ripetute nelle stesse condizioni, e il numero totale delle prove, quando n tende all’infinito.

limn→∞ f(E) = P(E)

Definizione frequentista

La frequenza relativa osservata in un numero sufficientemente elevato di prove può essere considerata come una misura della probabilità, perché si verifica sperimentalmente il fenomeno della costanza delle frequenze relative di lungo periodo.

Definizione soggettiva

  • La probabilità è l’espressione del grado di fiducia che un individuo ripone nel verificarsi di un dato vento, avendo a disposizione un certo insieme di informazioni.
  • Es: La probabilità che un medico effettua un intervento.
  • Es: Le corse dei cavalli

Spazio campionario (S o Ω)

L’insieme di tutti i possibili eventi elementari Ω = {e1,e2,e3,e4,e5}

(es. nel lancio di una moneta lo spazio campionario è testa, croce; esito di una malattia lo spazio campionario è guarigione, non guarigione;nel lancio di un dado spazio campionario: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Definizione di eventi elementari e composti

Un modo di caratterizzare gli eventi è quello di utilizzare la logica delle proposizioni e di considerare:

  • gli eventi elementari come proposizioni elementari;
  • gli eventi composti come proposizioni composte, mediante la negazione non, la disgiunzione o, la congiunzione e.

Algebra degli eventi

Unione (Principio della somma)

L’evento A o B (A ∪ B) indica che o A o B o entrambi possono verificarsi. Lo si considera come l’unione di due eventi.

A = {e1,e2,e3} B = {e3,e4}

A ∪ B = {e1,e2,e3,e4}

Algebra degli eventi

Intersezione (Principio del prodotto)

L’evento A e B (A ∩ B) indica che A e B si verificano entrambi. Lo si considera come l’intersezione di due eventi.

A ∩ B = {e3}

Algebra degli eventi

Negazione

Il complemento, o evento complementare, di un evento A è l’insieme di tutti gli esiti dello spazio campionario che non corrispondono all’evento A.

A = {e4,e5}

A ∪ A = Ω

A ∩ A = Φ Evento impossibile

Algebra degli eventi: un esempio

Poniamo in un’urna 100 palline: 20 nere, 30 rosse, 50 bianche

Estraiamo 4 palline in sequenza, con reimmissione

Possiamo prendere in considerazione i seguenti eventi:

  • A: estrazione di una pallina nera, una rossa e 2 bianche
  • B: nessuna presenza delle palline nere
  • C: estrazione di 2 o più palline bianche

Algebra degli eventi: un esempio

  • La negazione di B è definita come l’evento “estrazione di almeno una pallina nera”.
  • Intersezione B ∩ C è costituita dall’evento “Estrazione di almeno due palline bianche e nessuna nera”.
  • Evento A ∪ B è costituito da tutte le quadruple che non contengono palline nere oppure, pur contenendo palline nere, contengono almeno due palline bianche.

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