Giancarlo Ragozini » 8.Ulteriori indici di variabilità

Minimo e massimo degli indici di variabilità

Minimo

Gli indici di variabilità raggiungono il minimo (che è pari a 0) quando tutte le osservazioni sono uguali, ovvero quando c’è appunto assenza di variabilità ed il fenomeno è costante, e sono tutte uguali alla media aritmetica

Massimo

Gli indici di variabilità raggiungono il massimo (diverso per ogni indice) quando tutte le osservazioni sono uguali a zero tranne una che è pari a n volte la media aritmetica (vedi immagine a lato)

Invariante rispetto alle traslazioni

• Data una variabile X con varianza σ_x² e data una variabile Y con varianza σ_y² con Y=X+b si ha:

σ_y²=σ_x²

• La varianza non cambia se la variabile viene traslata
• Ciò è vero anche per lo scarto quadratico medio
• E’ vero anche per gli altri indici di variabilità perché la traslazione non modifica la struttura di variabilità, ma sposta semplicemente tutta la distribuzione

Variante al quadrato rispetto ai cambiamenti di scala

• Data una variabile X con varianza σ_x² e data una variabile Y con varianza σ_y² con Y=aX si ha:

σ_y²=a²σ_x²

σ_y=|a|σ_x²

• La varianza cambia se la variabile viene riscalata
• Lo scarto quadratico medio come gli altri indici di variabilità invece è equivariante

Formula ridotta della varianza

• La varianza σ_x² di una variabile X si può anche calcolare come differenza fra la media aritmetica delle osservazioni al quadrato e il quadrato della media aritmetica (vedi immagine in alto)

• Tale formula consente di ridurre il numero di operazioni da fare per il calcolo della varianza poiché elimina il calcolo degli scarti dalla media
• I calcoli risultano generalmente più semplici

Minimo e massimo della varianza

Minimo

Quando tutte le osservazioni sono uguali, la varianza e lo scarto quadratico medio sono pari a 0

Massimo

Quando tutte le osservazioni sono uguali a zero tranne una che è pari a n volte la media aritmetica allora la varianza e lo scarto quadratico medio raggiungo il massimo pari a (vedi immagine in basso)

Il coefficiente di variazione

• La varianza e la deviazione standard sono indici che dipendono dall’unità di misura e dell’ordine di grandezza dei dati e dal numero dei dati. Pertanto il confronto della variabilità tra collettivi diversi o variabili diverse risulta compromesso.
• Per confrontare la variabilità di due distribuzioni per il carattere X con μ>0 può essere utilizzato il coefficiente di variazione (CV).
• Il CV è il rapporto fra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica. Il CV è un numero puro, in quanto non dipende dall’unità di misura e dall’ordine di grandezza dei dati

Il coefficiente di variazione: un esempio

• 9 industrie con dispositivo anti-inquinante di tipo A e 9 di tipo B.

(vedi immagine a lato)

• Si può concludere che è la distribuzione B ad essere più variabile della distribuzione A.