Youlaurea.it
Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Giancarlo Ragozini » 8.Ulteriori indici di variabilità


Minimo e massimo degli indici di variabilità

Minimo

Gli indici di variabilità raggiungono il minimo (che è pari a 0) quando tutte le osservazioni sono uguali, ovvero quando c’è appunto assenza di variabilità ed il fenomeno è costante, e sono tutte uguali alla media aritmetica

Massimo

Gli indici di variabilità raggiungono il massimo (diverso per ogni indice) quando tutte le osservazioni sono uguali a zero tranne una che è pari a n volte la media aritmetica (vedi immagine a lato)

Dimostrazione

Dimostrazione


Ancora sulla varianza e sulle sue proprietà

  • La varianza è
    • Invariante rispetto alle traslazioni
    • Variante al quadrato rispetto ai cambiamenti di scala
  • Formula ridotta della varianza
  • Minimo e massimo della varianza

Invariante rispetto alle traslazioni

  • Data una variabile X con varianza σx2 e data una variabile Y con varianza σy2 con Y=X+b si ha:

σy2x2

  • La varianza non cambia se la variabile viene traslata
  • Ciò è vero anche per lo scarto quadratico medio
  • E’ vero anche per gli altri indici di variabilità perché la traslazione non modifica la struttura di variabilità, ma sposta semplicemente tutta la distribuzione

Variante al quadrato rispetto ai cambiamenti di scala

  • Data una variabile X con varianza σx2 e data una variabile Y con varianza σy2 con Y=aX si ha:

σy2=a2σx2

σy=|a|σx2

  • La varianza cambia se la variabile viene riscalata
  • Lo scarto quadratico medio come gli altri indici di variabilità invece è equivariante

Formula ridotta della varianza

  • La varianza σx2 di una variabile X si può anche calcolare come differenza fra la media aritmetica delle osservazioni al quadrato e il quadrato della media aritmetica (vedi immagine in alto)
  • Tale formula consente di ridurre il numero di operazioni da fare per il calcolo della varianza poiché elimina il calcolo degli scarti dalla media
  • I calcoli risultano generalmente più semplici
Formula ridotta della varianza

Formula ridotta della varianza

Dimostrazione

Dimostrazione


Minimo e massimo della varianza

Minimo

Quando tutte le osservazioni sono uguali, la varianza e lo scarto quadratico medio sono pari a 0

Massimo

Quando tutte le osservazioni sono uguali a zero tranne una che è pari a n volte la media aritmetica allora la varianza e lo scarto quadratico medio raggiungo il massimo pari a (vedi immagine in basso)

Scostamento semplice medio e mediano

Scostamento semplice medio e mediano


Il coefficiente di variazione

  • La varianza e la deviazione standard sono indici che dipendono dall’unità di misura e dell’ordine di grandezza dei dati e dal numero dei dati. Pertanto il confronto della variabilità tra collettivi diversi o variabili diverse risulta compromesso.
  • Per confrontare la variabilità di due distribuzioni per il carattere X con μ>0 può essere utilizzato il coefficiente di variazione (CV).
  • Il CV è il rapporto fra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica. Il CV è un numero puro, in quanto non dipende dall’unità di misura e dall’ordine di grandezza dei dati

Il coefficiente di variazione

  • Il CV si può anche interpretare in termini di rapporto fra il rumore (la variabilità) e il segnale (l’indice di posizione).
  • Tanto il CV è piccolo tanto più vuol dire che il segnale è più forte del rumore (la misura di tendenza centrale sintetizza bene i dati).
  • E’ possibile calcolare un CV normalizzato che varia tra 0 e 1, oppure, moltiplicando per 100, tra

Il coefficiente di variazione: un esempio

  • 9 industrie con dispositivo anti-inquinante di tipo A e 9 di tipo B.

(vedi immagine a lato)

  • Si può concludere che è la distribuzione B ad essere più variabile della distribuzione A.

Il MAD

  • Gli indici di variabilità analizzati sono tutti non robusti, ovvero risentono della presenza di valori anomali
  • Essi sono infatti basati sul calcolo di una media aritmetica di una qualche funzione degli scostamenti dalla media o dalla mediana
  • Un indice di variabilità robusto è il MAD (Median Absolute Deviation), ovvero lo scostamento mediano dalla mediana:

MAD=Me|xi-Mex|

Letture:

Esempio di calcolo

La variabilità

  • La mutua varibilità
  • Concentrazione

I materiali di supporto della lezione

S. Borra, A. Di Ciaccio, Statistica: metodologie per le scienze economiche, Milano, McGraw Hill, 2004

Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali

Schema di calcolo degli scostamenti semplici medio e mediano

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion