Giancarlo Ragozini » 14.L'associazione fra variabili quantitative

L’associazione fra variabili quantitative

Premessa:

• La metodologia descritta nella precedente lezione può essere applicata anche in presenza di variabili quantitative, anche se è opportuno ricorrere a strumenti specifici che tengono conto della particolare natura di queste variabili.
• Ad esempio, se volessimo studiare la dipendenza di un carattere quantitativo da un carattere qualitativo o discreto, sarebbe opportuno effettuare uno studio sulla indipendenza in media.
• Ancora, se volessimo studiare la interdipendenza tra due caratteri quantitativi, sarebbe opportuno effettuare uno studio di correlazione.

L’indipendenza in media

• Dati Y (un carattere quantitativo) ed X (un carattere qualitativo o discreto).
• Un carattere quantitativo Y è indipendente in media da X se le medie condizionate di Y per ogni x_i sono uguali alla media generale di Y.

Y|_X=xi = Y ∀ i=1, 2, … , k

L’indipendenza in media

• L’indice più opportuno per lo studio della relazione tra una variabile qualitativa ed una quantitativa, dove la variabile quantitativa dipende da quella qualitativa, è l’indice η².

η²_Y|X = Dev.(B)/Dev.(Y)

• Il rapporto è dato dalla devianza tra i gruppi (Between), indicata con Dev.(B) sulla devianza totale indicata con Dev.(Y).

La decomposizione della devianza

La decomposizione della devianza

Dev.(Y)= Dev.(W) + Dev.(B)

L’interdipendenza tra caratteri quantitativi

• Il grado di interdipendenza tra due caratteri quantitativi può essere valutato attraverso lo studio della correlazione.
• Una misura della correlazione è data dal calcolo del coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson. tra caratteri quantitativi.

L’interdipendenza tra caratteri quantitativi

• Dati due caratteri quantitativi X e Y. Consideriamo le variabili “scarto dalla media”:

d_x = x_i – x

d_y = y_i – y

• è possibile avere, per ogni i-ma unità, coppie di scarti dalla media che siano concordi oppure discordi.

Proprietà della covarianza

Il coefficiente di correlazione lineare

A partire dai valori che può assumere la covarianza si può introdurre un indice relativo: il coefficiente di correlazione lineare di Bravais e Pearson.

ρ_XY = Corr(X,Y) = Cov(X,Y)/σ_Xσ_Y

Proprietà del coefficiente di correlazione

-1 ≤ Corr(X,Y) ≤ +1

• Corr(X, Y) = 0, correlazione nulla (assenza di legame lineare tra X ed Y).
• Corr(X, Y) > 0, correlazione positiva (a variazioni positive di X si accompagnano, in media, variazioni positive di Y).
• Corr(X, Y) < 0, correlazione negativa (a variazioni negative di X si accompagnano, in media, variazioni positive di Y e viceversa).

Proprietà del coefficiente di correlazione

X e Y indipendenti ⇒ Corr(X,Y) = 0

Corr(a + bX,c + dY) = segno(b⋅d)corr(X,Y)

Corr(X,Y) = corr(Y,X)

Corr(X,X) = 1

Correlazione spuria

• Può accadere che il legame tra X ed Y esiste non in modo diretto ma perché entrambe le variabili dipendono da una terza variabile Z che le influenza entrambe.
• Esempio: esiste una forte correlazione positiva tra l’arrivo di turisti e le vendite di gelati. In realtà entrambi i fenomeni sono legati all’aumento delle temperature estive.

Prossima lezione

Elementi di calcolo delle probabilità

• Concezioni alternative di probabilità
• L’assiomatizzazione