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Giancarlo Ragozini » 14.L'associazione fra variabili quantitative


L’associazione fra variabili quantitative

Premessa:

  • La metodologia descritta nella precedente lezione può essere applicata anche in presenza di variabili quantitative, anche se è opportuno ricorrere a strumenti specifici che tengono conto della particolare natura di queste variabili.
  • Ad esempio, se volessimo studiare la dipendenza di un carattere quantitativo da un carattere qualitativo o discreto, sarebbe opportuno effettuare uno studio sulla indipendenza in media.
  • Ancora, se volessimo studiare la interdipendenza tra due caratteri quantitativi, sarebbe opportuno effettuare uno studio di correlazione.

L’indipendenza in media

  • Dati Y (un carattere quantitativo) ed X (un carattere qualitativo o discreto).
  • Un carattere quantitativo Y è indipendente in media da X se le medie condizionate di Y per ogni xi sono uguali alla media generale di Y.

Y|X=xi = Y ∀ i=1, 2, … , k

L’indipendenza in media

  • L’indice più opportuno per lo studio della relazione tra una variabile qualitativa ed una quantitativa, dove la variabile quantitativa dipende da quella qualitativa, è l’indice η2.

η2Y|X = Dev.(B)/Dev.(Y)

  • Il rapporto è dato dalla devianza tra i gruppi (Between), indicata con Dev.(B) sulla devianza totale indicata con Dev.(Y).

La decomposizione della devianza


La decomposizione della devianza

Dev.(Y)= Dev.(W) + Dev.(B)

Dev.(Y)= Dev.(W) + Dev.(B)


L’indipendenza in media

Il rapporto di correlazione η2 è illustrato in figura.

Proprietà del rapporto di correlazione:

0 ≤ η2Y/X ≤ 1

  • η2Y/X = 1 ⇒ Dipendenza perfetta
  • η2Y/X = 0 ⇒ Indipendenza in media

L’interdipendenza tra caratteri quantitativi

  • Il grado di interdipendenza tra due caratteri quantitativi può essere valutato attraverso lo studio della correlazione.
  • Una misura della correlazione è data dal calcolo del coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson. tra caratteri quantitativi.

L’interdipendenza tra caratteri quantitativi

  • Dati due caratteri quantitativi X e Y. Consideriamo le variabili “scarto dalla media”:

dx = xi – x

dy = yi – y

  • è possibile avere, per ogni i-ma unità, coppie di scarti dalla media che siano concordi oppure discordi.

La Covarianza

  • I caratteri presentano concordanza se la maggior parte degli scostamenti sono concordi.
  • I caratteri presentano discordanza se la maggior parte degli scostamenti sono discordi.

Proprietà della covarianza


La Correlazione

  • La covarianza può assumere valori all’interno di: XσY ≤ σXY ≤ σXσY
  • Cov(X, Y) = 0, correlazione nulla (assenza di legame lineare tra X ed Y).
  • Cov(X, Y) > 0, correlazione positiva (a variazioni positive di X si accompagnano, in media, variazioni positive di Y).
  • Cov(X, Y) < 0, correlazione negativa (a variazioni negative di X si accompagnano, in media, variazioni positive di Y e viceversa).
Covarianza pari a zero
Covarianza maggiore di zero
Covarianza minore di zero

Il coefficiente di correlazione lineare

A partire dai valori che può assumere la covarianza si può introdurre un indice relativo: il coefficiente di correlazione lineare di Bravais e Pearson.

ρXY = Corr(X,Y) = Cov(X,Y)/σXσY

Proprietà del coefficiente di correlazione

-1 ≤ Corr(X,Y) ≤ +1

  • Corr(X, Y) = 0, correlazione nulla (assenza di legame lineare tra X ed Y).
  • Corr(X, Y) > 0, correlazione positiva (a variazioni positive di X si accompagnano, in media, variazioni positive di Y).
  • Corr(X, Y) < 0, correlazione negativa (a variazioni negative di X si accompagnano, in media, variazioni positive di Y e viceversa).

Proprietà del coefficiente di correlazione

Corr(X,Y) = +1 ⇒ Y = a + b⋅X

Corr(X,Y) = -1 ⇒ Y = a – b⋅X

  • Corr(X, Y) = +1, esiste un legame lineare positivo perfetto tra X ed Y.
  • Corr(X, Y) = -1, esiste un legame lineare negativo perfetto tra X ed Y.
Legame lineare negativo perfetto

Legame lineare negativo perfetto

Legame lineare positivo perfetto

Legame lineare positivo perfetto


Proprietà del coefficiente di correlazione

X e Y indipendenti ⇒ Corr(X,Y) = 0

Corr(a + bX,c + dY) = segno(b⋅d)corr(X,Y)

Corr(X,Y) = corr(Y,X)

Corr(X,X) = 1

Correlazione spuria

  • Può accadere che il legame tra X ed Y esiste non in modo diretto ma perché entrambe le variabili dipendono da una terza variabile Z che le influenza entrambe.
  • Esempio: esiste una forte correlazione positiva tra l’arrivo di turisti e le vendite di gelati. In realtà entrambi i fenomeni sono legati all’aumento delle temperature estive.

Prossima lezione

Elementi di calcolo delle probabilità

  • Concezioni alternative di probabilità
  • L’assiomatizzazione
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