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Giancarlo Ragozini » 7.Indici di variabilità

La variabilità di un fenomeno è la tendenza a presentarsi in modo diverso
Ovvero la tendenza ad assumere diverse modalità o valori fra le diverse unità statistiche
L’obiettivo è trovare misure della variabilità.
Poiché la variabilità o è assente o è presente, un qualunque indice che funga da misura dovrà essere positivo se la variabilità si manifesta o dovrà valere zero se la variabilità è assente.

Una misura di dispersione riassume la variabilità di una distribuzione (per dati quantitativi)
Il campo di variazione (range), R, è la differenza fra l’osservazione più grande e quella più piccola
- R= x(n) – x(1)
Il campo di variazione interquartile: IQR
- IQR = Q3 – Q1

Un esempio di calcolo degli indici di variabilità semplici

Questi due indici forniscono in modo grossolano informazione su variabilità intorno alla mediana
Se vi sono valori anomali il campo di variazione aumenta a dismisura, mentre il campo di variazione interquartilico resta stabile perché esprime l’ampiezza dell’intervallo entro cui varia il 50% centrale della distribuzione

Vogliamo misurare la variabilità delle osservazioni intorno alla misura di tendenza centrale. Vogliamo costruire una misura che ci dia una idea della distanza media dal centro
x_i = parte sistematica (µ o Me) + e_i
e_i = x_i – parte sistematica
- e_i è quindi la distanza di ciascun dato dal centro
- x_i -µ (scarto dalla media)
- x_i –Me (scarto dalla mediana)

Problema

Tuttavia, nel caso degli scarti dalla media aritmetica la loro somma è pari a zero (proprietà della media, vedi lezione 5)
Nel caso degli scarti dalla mediana potrebbe essere pari a zero nel caso in cui scarti positivi e negativi si compensino

Soluzione

Scostamento semplice medio

Se il centro è la media si considera la media aritmetica degli scarti dalla media in valore assoluto

Scostamento semplice mediano

Se il centro è la mediana si considera la media aritmetica degli scarti dalla mediana in valore assoluto

Interpretazione

Letture:

Esempio di calcolo scostamenti

Scostamento semplice medio e mediano

Varianza

Se il centro è la media si può considerare la media aritmetica degli scarti dalla media elevati al quadrato

Interpretazione

La varianza esprime la variabilità considerando l’unità di misura al quadrato (se i dati sono espressi in metri la varianza sarà metri quadri, se in chili la varianza sarà in chili al quadrato)
Essa quindi è di difficile interpretazione

Scarto quadratico medio

E’ pari alla radice quadrata della varianza. Ciò riporta l’unità di misura dell’indice a quella dei dati.

Letture: Esempio di calcolo della varianza

Risorse: Giocare con la media e la varianza

Varianza e scarto quadratico medio

Lo scostamento semplice medio e la varianza sono due indici di variabilità basati sullo stesso scostamento ma pesato in modo diverso.
Il valore assoluto per gli scarti piccoli (tra -1 e 1) attribuisce un peso maggiore rispetto al quadrato
Per scarti grandi il quadrato attribuisce un peso maggiore
Quindi la varianza fa pesare di più nella somma le osservazioni lontane dalla media, amplificandone l’effetto
Multimedia:

didascalia fig 4 Confronto fra la funzione valore assoluto e parabola

Confronto fra la funzione valore assoluto e parabola

Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza con k modalità x_j disgiunte con frequenze assolute n_j o frequenze relative f_j, allora
Nel calcolo degli indici di variabilità ogni scostamento (in valore assoluto o al quadrato) deve essere moltiplicato per la frequenza con cui esso si presenta nella popolazione

Scostamento semplice medio e mediano

Se la distribuzione del carattere X è sintetizzata attraverso una distribuzione di frequenza in classi con k classi, allora
nel calcolo degli indici di variabilità lo scostamento va calcolato rispetto al valore centrale della classe (c_j).
poi ogni scostamento (in valore assoluto o al quadrato) deve essere moltiplicato per la frequenza di ciascuna classe