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Giancarlo Ragozini » 7.Indici di variabilità


Cosa è la variabilità

  • La variabilità di un fenomeno è la tendenza a presentarsi in modo diverso
  • Ovvero la tendenza ad assumere diverse modalità o valori fra le diverse unità statistiche
  • L’obiettivo è trovare misure della variabilità.
  • Poiché la variabilità o è assente o è presente, un qualunque indice che funga da misura dovrà essere positivo se la variabilità si manifesta o dovrà valere zero se la variabilità è assente.

Indici di variabilità semplici

  • Una misura di dispersione riassume la variabilità di una distribuzione (per dati quantitativi)
  • Il campo di variazione (range), R, è la differenza fra l’osservazione più grande e quella più piccola
    • R= x(n) – x(1)
  • Il campo di variazione interquartile: IQR
    • IQR = Q3 – Q1
Un esempio di calcolo degli indici di variabilità semplici

Un esempio di calcolo degli indici di variabilità semplici


Indici di variabilità semplici

  • Questi due indici forniscono in modo grossolano informazione su variabilità intorno alla mediana
  • Se vi sono valori anomali il campo di variazione aumenta a dismisura, mentre il campo di variazione interquartilico resta stabile perché esprime l’ampiezza dell’intervallo entro cui varia il 50% centrale della distribuzione

Indici di variabilità rispetto al centro

  • Vogliamo misurare la variabilità delle osservazioni intorno alla misura di tendenza centrale. Vogliamo costruire una misura che ci dia una idea della distanza media dal centro
  • xi = parte sistematica (µ o Me) + ei
  • ei = xi – parte sistematica
    • ei è quindi la distanza di ciascun dato dal centro
    • xi -µ (scarto dalla media)
    • xi –Me (scarto dalla mediana)

Indici di variabilità rispetto al centro

  • Per ottenere una misura sintetica potremmo calcolare la media degli scarti.

Problema

  • Tuttavia, nel caso degli scarti dalla media aritmetica la loro somma è pari a zero (proprietà della media, vedi lezione 5)
  • Nel caso degli scarti dalla mediana potrebbe essere pari a zero nel caso in cui scarti positivi e negativi si compensino

Soluzione

  • Trovare delle funzioni degli scarti che annullino il segno

Indici di variabilità rispetto al centro

Scostamento semplice medio

  • Se il centro è la media si considera la media aritmetica degli scarti dalla media in valore assoluto

Scostamento semplice mediano

  • Se il centro è la mediana si considera la media aritmetica degli scarti dalla mediana in valore assoluto

Interpretazione

  • Rappresentano la distanza media dalla media o dalla mediana

Letture:

Esempio di calcolo scostamenti

Scostamento semplice medio e mediano

Scostamento semplice medio e mediano


Indici di variabilità rispetto al centro

Varianza

  • Se il centro è la media si può considerare la media aritmetica degli scarti dalla media elevati al quadrato

Interpretazione

  • La varianza esprime la variabilità considerando l’unità di misura al quadrato (se i dati sono espressi in metri la varianza sarà metri quadri, se in chili la varianza sarà in chili al quadrato)
  • Essa quindi è di difficile interpretazione

Scarto quadratico medio

  • E’ pari alla radice quadrata della varianza. Ciò riporta l’unità di misura dell’indice a quella dei dati.

Letture: Esempio di calcolo della varianza

Risorse: Giocare con la media e la varianza

Varianza e scarto quadratico medio

Varianza e scarto quadratico medio


Differenza fra lo scostamento e la varianza

  • Lo scostamento semplice medio e la varianza sono due indici di variabilità basati sullo stesso scostamento ma pesato in modo diverso.
  • Il valore assoluto per gli scarti piccoli (tra -1 e 1) attribuisce un peso maggiore rispetto al quadrato
  • Per scarti grandi il quadrato attribuisce un peso maggiore
  • Quindi la varianza fa pesare di più nella somma le osservazioni lontane dalla media, amplificandone l’effetto
    Multimedia:

didascalia fig 4 Confronto fra la funzione valore assoluto e parabola

Confronto fra la funzione valore assoluto e parabola

Confronto fra la funzione valore assoluto e parabola


Calcolo degli indici di variabilità per distribuzioni di frequenza semplici

  • Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza con k modalità xj disgiunte con frequenze assolute nj o frequenze relative fj, allora
  • Nel calcolo degli indici di variabilità ogni scostamento (in valore assoluto o al quadrato) deve essere moltiplicato per la frequenza con cui esso si presenta nella popolazione
Scostamento semplice medio e mediano

Scostamento semplice medio e mediano


Calcolo degli indici di variabilità per distribuzioni di frequenza in classi

  • Se la distribuzione del carattere X è sintetizzata attraverso una distribuzione di frequenza in classi con k classi, allora
  • nel calcolo degli indici di variabilità lo scostamento va calcolato rispetto al valore centrale della classe (cj).
  • poi ogni scostamento (in valore assoluto o al quadrato) deve essere moltiplicato per la frequenza di ciascuna classe
Scostamento semplice medio e mediano

Scostamento semplice medio e mediano


Indici di variabilità 2

Ulteriori indici di variabilità

  • Coefficiente di variazione e MAD
  • Proprietà della varianza

I materiali di supporto della lezione

S. Borra, A. Di Ciaccio, Statistica: metodologie per le scienze economiche, Milano, McGraw Hill, 2004

Esempio di calcolo scostamenti

Esempio varianza

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