Gerardo Toraldo » 15.Concavità, convessità, grafico di una funzione

Concavità e convessità

Le due funzioni f(x) e g(x) (che supponiamo essere derivabili) sono entrambe monotone crescenti, ma i loro grafici esibiscono una significativa differenza relativamente alla “forma” dei loro grafici. In particolare, G(f) si trova al di sopra delle rette ad esso tangenti, G(g) al di sotto. Nel primo caso diremo che la funzione è convessa, nel secondo concava.

Concavità e convessità

Circa le condizioni analitiche che discriminano fra funzioni concave e funzioni convesse, un suggerimento intuitivo viene dai grafici delle due funzioni f(x) e g(x) (che supponiamo avere derivate prime e seconde). Per f(x) osserviamo che al crescere di x la pendenza della retta tangente in (x,f(x)) , cioè la derivata prima f’(x) cresce (e quindi f”(x) è non negativa).

Concavità e convessità

E’ possibile dimostrare in maniera rigorosa il teorema seguente, che fornisce un utile criterio per stabilire gli intervalli di concavità/convessità per una funzione f(x) “sufficientemente regolare”.

Criterio di convessità

Sia f(x): [A, B] → R una funzione continua in [a,b] e derivabile due volte in (a,b). Allora vale che:

f convessa in [a,b] <=> f” ≥ 0 in [a,b]
f concava in [a,b] <=> f” ≤ 0 in [a,b]

Lezione 15.1 – Concavità, convessità, grafico di una funzione

Lezione 15.2 – Concavità, convessità, grafico di una funzione

Teorema di Lagrange

Teorema di Rolle

TEST

Grafico di una funzione

Siamo finalmente in grado di risolvere il problema generale di tracciare il grafico di una funzione e di risolvere una serie di problemi, compreso l’utilizzo e gestione di semplici modelli, che analizzeremo in maggior dettaglio nelle prossime lezioni. I passi fondamentali nel tracciare il grafico di una funzione sono sintetizzabili come segue: