Gerardo Toraldo » 19.Teoremi, Funzioni primitive, Integrale indefinito

Teorema della media integrale

Teorema della media integrale: significato

Il teorema della media integrale è un teorema che mette in relazione le nozioni di integrale e di funzione continua per le funzioni di una variabile reale.

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell’idea di media aritmetica. L’idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione su un intervallo [a,b] calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di punti x_i distribuiti uniformemente nell’intervallo stesso.

Teorema della media integrale

Teorema della media integrale: enunciato

Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto x₀∈(a, b) tale che

_a∫^b f(x) dx = (b-a)f(x₀)

Primitiva di una funzione (definizione)

Una funzione F(x) definita e derivabile in [a,b], si definisce primitiva di f (x), definita e continua in [a,b], se risulta:

F’(x) = f(x); ∀ x ∈ [A, B]

Esempio: F(x)=(1/3)x³ è primitiva di f(x)=x²

Il problema del calcolo di una primitiva di una funzione è in genere un problema estremamente più complesso del semplice calcolo delle derivate.

Primitiva di una funzione

Dal punto di vista fisico, il problema del calcolo della primitiva (e la risoluzione di equazioni differenziali che ne rappresenta la generalizzazione) è di estremo interesse. Un semplice esempio è dato dalla determinazione della legge di moto x(t) conoscendo la velocità x’(t) (Sapendo che mi muovo di moto rettilineo, e conoscendo la velocità mantenuta istante per istante, è possibile sapere dove mi troverò in un certo istante futuro?). Osserviamo che la risposta a questo quesito, anche nel caso più semplice (velocità costante), per la sua risoluzione richiede che, oltre alla velocità venga indicato il punto di partenza: cambiando punto di partenza, cambierà la soluzione.

Primitiva di una funzione e integrale indefinito

Il semplice esempio fisico appena discusso, suggerisce che il problema di una primitiva non ammette soluzione unica!

Esempio: F(x)=(1/3)x³ è primitiva di f(x)=x² ; ma anche G(x)=(1/3)x³+2 è primitiva di f(x)=x² e ogni funzione del tipo

F(x)=(1/3)x³ +h (con h costante)

è primitiva di f(x).

L’integrale indefinito di f(x)

∫f(x) dx

si definisce come l’insieme di tutte le primitive di f(x).

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Perché usare lo stesso simbolo ∫ per l’integrale definito e l’integrale indefinito? Qual è la relazione esistente fra i due? La risposta è fornita da due teoremi:

1. Teorema fondamentale del calcolo integrale
2. Formula fondamentale del calcolo integrale (teorema di Torricelli-Barrow)

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale: enunciato

Se y = f(x) è una funzione definita e continua in [a,b] allora la sua funzione integrale

F(x) = _a∫^x f(t) dt

è derivabile e risulta F’(x) = f(x)

OSSERVAZIONE: F(x) è una primitiva di f(x)

(Quindi il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce l’esistenza di una primitiva)

Teorema di Torricelli-Barrow

Se y = f(x) è una funzione definita e continua in [a,b] allora

_a∫^b f(x) dx = G(b)-G(a)

dove G(x) è una qualsiasi primitiva di f(x).

I due teoremi ora enunciati risolvono i due problemi:

• della determinazione della primitiva di una funzione continua;
• del calcolo dell’area del rettangoloide.

Lezione 19 – Teoremi, Funzioni primitive, Integrale indefinito

Esercizi

Prossima lezione

Metodi di integrazione

• Integrazione per decomposizione in somma
• Integrazione per parti
• Integrazione per sostituzione