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Gerardo Toraldo » 9.Limiti (definizioni), continuità


Limiti all’infinito

Si supponga che una funzione f(x) ammette +∞ come punto di accumulazione per il proprio domino. Calcolare

limx→+∞ f(x)

significa analizzare il comportamento di f(x) al crescere infinito (positivo) della variabile indipendente. Le possibili alternative sono:

  1. che la funzione vada a +∞ (e quindi è non limitata superiormente)
  2. si “stabilizzi” intorno ad un certo valore
  3. non accade nessuna delle due ipotesi precedenti (funzione non regolare)

Lezione 9.1 – Limiti (definizioni), continuità


Limiti all’infinito


Continuità

Una funzione

f: A→B con A, B ⊆ R, A, B ≠ ∅

si dice continua nel punto a∈A se

limx→a f(x) = f(a)

f(x) si dice continua, se essa è continua in tutto il proprio dominio. Dal punto di vista grafico la continuità implica che, in ciascun intervallo contenuto nel dominio, il grafico della funzione è una linea continua, priva di “interruzioni” o “salti”.

Lezione 9.3 – Limiti (definizioni), continuità

Continuità (interpretazione fisica)

Supponiamo che y=f(x) rappresenti una relazione che intercorre fra due grandezze fisiche; ad esempio y potrebbe essere una variabile di stato del sistema (ad es. il volume o la temperatura) che dipende dal tempo (variabile indipendente) x. La continuità di f(x) implica che lo stato del sistema varia con continuità, senza cambiamenti bruschi o improvvisi. Se pensiamo ad un corpo, soggetto ad una fonte di calore di intensità specifica costante K, la temperatura T del corpo varia nel tempo t (in opportune condizioni e per intervalli sufficientemente brevi) secondo una funzione continua, lineare, crescente, inversamente proporzionale alla massa M e direttamente proporzionale a K:

T(t) = T0 + (K/M)t T0 temperatura iniziale del corpo

Continuità delle funzioni elementari

  • Tutte le funzioni elementari che abbiamo presentato sono continue nel proprio dominio.
  • La somma, prodotto, rapporto composizione, di funzioni continue è ancora una funzione continua.

E quindi, per tutte le funzioni che sono composizione/somma/prodotto/rapporto di funzioni elementari, in ogni punto del dominio il limite può essere calcolato semplicemente mediante una semplice valutazione di funzione: in definitiva, gli unici limiti che occorre valutare utilizzando la definizione di limite, o mediante opportune considerazioni o specifiche tecniche sono quelli agli estremi del dominio.

Lezione 9.4 – Limiti (definizioni), continuità

Prossima lezione

Proprietà delle funzioni continue

Proprietà delle funzioni continue:

  • Teorema dei valori intermedi
  • Teorema di Weierstrass
  • Limiti funzioni monotone
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