Limiti all’infinito
Si supponga che una funzione f(x) ammette +∞ come punto di accumulazione per il proprio domino. Calcolare
limx→+∞ f(x)
significa analizzare il comportamento di f(x) al crescere infinito (positivo) della variabile indipendente. Le possibili alternative sono:
- che la funzione vada a +∞ (e quindi è non limitata superiormente)
- si “stabilizzi” intorno ad un certo valore
- non accade nessuna delle due ipotesi precedenti (funzione non regolare)
Limiti all’infinito
Continuità
Una funzione
f: A→B con A, B ⊆ R, A, B ≠ ∅
si dice continua nel punto a∈A se
limx→a f(x) = f(a)
f(x) si dice continua, se essa è continua in tutto il proprio dominio. Dal punto di vista grafico la continuità implica che, in ciascun intervallo contenuto nel dominio, il grafico della funzione è una linea continua, priva di “interruzioni” o “salti”.
Continuità (interpretazione fisica)
Supponiamo che y=f(x) rappresenti una relazione che intercorre fra due grandezze fisiche; ad esempio y potrebbe essere una variabile di stato del sistema (ad es. il volume o la temperatura) che dipende dal tempo (variabile indipendente) x. La continuità di f(x) implica che lo stato del sistema varia con continuità, senza cambiamenti bruschi o improvvisi. Se pensiamo ad un corpo, soggetto ad una fonte di calore di intensità specifica costante K, la temperatura T del corpo varia nel tempo t (in opportune condizioni e per intervalli sufficientemente brevi) secondo una funzione continua, lineare, crescente, inversamente proporzionale alla massa M e direttamente proporzionale a K:
T(t) = T0 + (K/M)t T0 temperatura iniziale del corpo
Continuità delle funzioni elementari
- Tutte le funzioni elementari che abbiamo presentato sono continue nel proprio dominio.
- La somma, prodotto, rapporto composizione, di funzioni continue è ancora una funzione continua.
E quindi, per tutte le funzioni che sono composizione/somma/prodotto/rapporto di funzioni elementari, in ogni punto del dominio il limite può essere calcolato semplicemente mediante una semplice valutazione di funzione: in definitiva, gli unici limiti che occorre valutare utilizzando la definizione di limite, o mediante opportune considerazioni o specifiche tecniche sono quelli agli estremi del dominio.
Prossima lezione
Proprietà delle funzioni continue
Proprietà delle funzioni continue:
- Teorema dei valori intermedi
- Teorema di Weierstrass
- Limiti funzioni monotone
- Questo insegnamento prevede anche l'uso di una diversa piattaforma.
Le lezioni del Corso
2. Prerequisiti per il Corso: Equazione della retta, Equazioni e Disequazioni di I grado
3. Prerequisiti per il Corso: Modelli Lineari, Equazioni e Disequazioni di Secondo Grado
5. Proprietà caratteristiche delle funzioni
6. Funzioni elementari (potenza, radice, valore assoluto)
7. Funzioni elementari (esponenziale e logaritmo)
8. Introduzione al concetto di limite
9. Limiti (definizioni), continuità
10. Proprietà delle funzioni continue
12. Introduzione al concetto di derivata
14. Applicazioni delle derivate
15. Concavità, convessità, grafico di una funzione
16. Grafici di funzione e problemi collegati
18. Integrazione
