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Massimo Capaccioli » 11.Il modello di Lane-Emden

Contenuto della lezione

Siamo finalmente giunti alla metà del nostro corso di introduzione all’astrofisica stellare.

In questa lezione affronteremo lo studio di un modello fondamentale della struttura stellare: il modello di Lane-Emden.

In particolare,

daremo la definizione di politropo;
utilizzeremo l’equazione dell’equilibrio idrostatico nell’ipotesi che l’equazione di stato sia politropica;
scriveremo e risolveremo analiticamente il modello di Lane-Emden;
impareremo a risolvere tale modello numericamente, quando una soluzione analitica non esiste;
confronteremo le soluzioni di Lane-Emden per il Sole con le soluzioni moderne del modello standard della nostra stella.

Come è fatto un modello stellare semplice

Nella Lezione 6 abbiamo introdotto le equazioni della struttura stellare.

Resta evidente che la derivazione della struttura stellare richiede la soluzione di un sistema di equazioni altamente non lineare. È necessario partire da una soluzione semplice, ossia analitica, se possibile,

Tuttavia soluzioni semplici sono basate sulla proprietà di un sistema che cambia lentamente dal centro alla superfice, ossia che è solo debolmente dipendete dal raggio. Ma non è facile trovare tali soluzioni, considerato che la temperatura varia di ben tre ordini di grandezza e la pressione di ben 14!

I modelli politropici assumono una semplice relazione fra pressione e densità in tutto il volume della stella. Con questa ipotesi, le equazioni del supporto idrostatico e della conservazione della massa possono essere risolte in modo indipendente una dall’altra.

La composizione chimica può essere assunta uniforme (ipotesi appropriata per stelle dominate da processi convettivi).

I modelli politropici hanno un interesse storico: prima dell’avvento dei computer, hanno giocato un ruolo chiave nello sviluppo della teoria della struttura stellare.

Per iniziare

Robert Whitmer (da “Transformations of Matter – Radiation Gas Mixtures“, 1940, Rev. 57 Phys, p 516,) ha scritto: “Emden ha scoperto che per un gas perfetto, le trasformazioni lungo le isocore, le adiabatiche, le isoterme, e le isobare sono tutte forme diverse della generale trasformazione politropica $\lambda = dQ/dT = \rm {cost.}\,$ . Una definizione alternativa di un politropo è: $\Gamma = - (d \rho /\rho) / (dV / V) = \rm cost. \,$ . Quando si considerano la densità di energia e la pressione, si trova che $\lambda$ è una costante solo lungo una trasformazione adiabatica, e $\Gamma$ solo su una isobara. ” Per studiare le soluzioni politropiche abbiamo bisogno di ricordare le nozioni di trasformazione adiabatica, che coinvolge il rapporto dei calori specifici.

L’equazione politropica

Il termine politropo deriva dal greco «polýtropos», ossia «multiforme».

Un fluido è detto avere un’equazione di stato politropica se questa è del tipo:

$P \, V^{\gamma} = {\rm costante} \,$ ,

dove l’indice politropico $\gamma$ è un numero reale, non necessariamente pari al rapporto dei calori specifici.

Per:

$\gamma =0 \,$ , l’equazione politropica descrive una trasformazione isobara;
$\gamma =1 \,$ , l’equazione politropica descrive una trasformazione isoterma.
$\gamma = \frac{C_P}{C_V} \,$ , l’equazione politropica descrive una trasformazione adiabatica.

Richiamo: la convezione

La convezione è un fenomeno complesso, non ancora del tutto chiarito.

Come visto nelle lezioni precedenti, assumendo che una bolla di gas salga verso la superficie, quando la sua pressione è all’equilibrio con quella dell’ambiente circostante, è necessario un gradiente di temperatura pari a:

$\frac{dT}{dR}< \left( 1 - \frac{1}{\gamma} \right) \, \frac{T}{P} \, \frac{dP}{dr} \,$

Utilizzando la legge dei gas perfetti e l’equazione del supporto idrostatico, otteniamo che la convezione è il fenomeno dominante di trasporto dell’energia quando:

$\text{[math]}$ .

La convezione

Osservazioni della superficie solare. Durata : 1 ora. Fonte: Luc Rouppe van der Voort, The Swedish 1-m Solar TelescopeLunghezza d'onda: 656.3 nm H-alpha.

Trasporto radiativo vs convezione

Confrontiamo ora il gradiente di temperatura dovuto alla redazione con quello dovuto alla convezione.

Quello dovuto alla redazione è pari a:

$\frac{dT}{dR} = - \frac{3 {\bar \kappa} \, \rho}{64 \pi \sigma} \, \frac{L_r}{r^2 T^3} \,$ .

Domanda: in quali condizioni domina la convezione?

La granulazione sulla superficie solare butterata da una macchia. Fonte: Wikipedia.

I passi verso l’equazione di Lane-Emden

Cerchiamo ora, sulla scia del lavoro dell’americano Lane e del tedesco Emden, la soluzione dell’equazione dell’equilibrio idrostatico ipotizzando che il gas stellare obbedisca ovunque a un’equazione di stato politropica con indice costante.

Per derivare la soluzione di Lane-Emden, seguiremo i seguenti passi:

differenzieremo l’equazione dell’equilibrio idrostatico rispetto al raggio $r\,$ ;

sostituiremo in questa l’espressione di $d M/d r$ che viene dall’equazione della conservazione dell’energia;

sostituiremo al termine $$ dP $$ il differenziale della equazione politropica di stato; eseguiremo i seguenti cambi di variabili: $\xi = 1$ e:

$\frac{1}{\xi^2} \, \frac{d}{d \xi} \, \left( \xi^2 \frac{d \theta}{d \xi} \right)= - \theta^{\frac{1}{\gamma - 1}} \,$ .

L’equazione di Lane-Emden

La soluzione dell’equazione di Lane-Emden è una funzione, detta politropica, $\rho (r)$ , definita fra r=0 ed r=R, con le seguenti naturali condizioni al contorno:

$\rho (0) = \rho_c \,$ ;

$\rho (R) = 0 \,$ ;

$\frac{d \rho }{d r} = 0$ quando $r=R \,$ .

Pertanto, un politropo è univocamente determinato da tre parametri: $K, n, R \,$ .

Questo fatto permette di calcolare ulteriori grandezze fisiche in funzione del raggio: la pressione, la massa, l’accelerazione di gravità.

Soluzioni analitiche

È possibile risolvere analiticamente l’equazione di Lane-Emden in alcuni casi particolari, Si può infatti mostarre che soluzioni analitiche esistono solo per i seguenti valori dell’indice politropico:

$n=0 \, \, \,$ : La soluzione è il politropo $\theta = 1 - \left( \frac{\xi^2}{6} \right) \,$ ;

$n=1 \, \, \,$ : La soluzione è il politropo $\theta = \frac{{\rm sin } \, \xi}{\xi} \,$ ;

$n=5 \, \, \,$ : La soluzione è il politropo $\theta = \left( 1 + \frac{\xi^2}{3} \right)^{-1/2} \,$ .

Soluzioni per tutti gli altri valori dell’indice politropico possono essere derivate solo per via numerica.

Le condizioni al contorno sono ovviamente, per :

$\frac{d \theta}{d \xi} = 0 \,$ ;

$\theta = 1 \,$ .

Equazione di Lane-Emden: la soluzione facile

Risolviamo analiticamente l’equazione nel caso semplice in cui $n=0 \,$ . I dettagli sono lasciati allo studente come esercizio.

L’equazione diviene una semplice equazione algebrica. Imponendo le note condizioni al contorno, si ottiene:

$\theta = 1 - \left( \frac{\xi^2}{6} \right) \,$ .

Come ulteriore esercizio, proponiamo di calcolare il raggio della stella, una volta dato il politropo per n=0.

Quale condizione deve essere posta su $\theta (r) \,$ ?

Il raggio della stella è:

$R = \sqrt{ \frac{6 P_c}{4 \pi G \rho_c^2}} \,$ .

Soluzioni numeriche

Discutiamo ora come determinare le soluzioni dell’equazione di Lane-Emden per via computazionale. Prima di tutto, conviene riscrivere l’equazione nella forma seguente:

$\frac{d^2 \theta}{d \xi^2} = - \frac{2}{\xi} \, \frac{d \theta}{d \xi} - \theta^2 \,$ .

La tecnica integrazione numerica procede nel seguente modo: bisogna valutare la densità s ogni valore del raggio, utilizzando un numero discreti di passi, dal centro verso la superficie della stella.

A ogni valore del raggio $r$ (ossia ad ogni valore di $\xi \,$ ), il valore della densità (ossia il valore di $\theta\,$ ) è dato dal valore alla posizione precedente più un incremento proporzionale al passo usato e alla derivata della densità:

$\theta_{i+1} = \theta_i \, + \, \Delta \xi \, \frac{d \theta}{d \xi} \,$ .

La derivata prima non è nota. Tuttavia, può essere determinata con lo stesso procedimento:

$\left( \frac{d \theta}{d \xi} \right)_{i+1} = \left( \frac{d \theta}{d \xi} \right)_i \, + \, \Delta \xi \, \left( \frac{d^2 \theta}{d \xi^2} \right) \,$ .

Il termine di derivata seconda può essere sostituito ricorrendo alla stessa equazione di Lane-Emden:

$\left( \frac{d \theta}{d \xi} \right)_{i+1} = \left( \frac{d \theta}{d \xi} \right)_i \, - \, \Delta \xi \,\left(\frac{2}{\xi} \, \frac{d \theta}{d \xi } + \theta^n \right) \,$ .

Si risolve quindi iterativamente per la derivata prima di $\theta\,$ , per poi calcolare $\theta$ fino a che non essa non sia molto prossima a zero (valore in superficie).

Soluzioni dell’equazione di Lane-Emden

Soluzioni per indice politropico che varia fra 0 e 6 in passi di 0.5. Fonte: Cocoubed.

Soluzioni numeriche

Dalla figura precedente, notiamo che al crescere dell’indice politropico, le stelle diventano più dense al centro.

Domanda: Cosa rappresenta la soluzione per $n=5\,$ ?

Per politropi coni $n <5,$ , la soluzione $\theta (\xi)$ scende sotto lo zero ad un valore finito di $\xi\,$ , permettendo quindi di determinare il raggio del politropo.

Nelle soluzioni integrate numericamente, una interpolazione lineare tra i punti vicini in cui $\theta$ cambia segno darà il valore di $\theta$ a $\xi = 0$ .

Le radici dell’equazione per una serie di indici politropici sono elencati di nella tabella a lato.

Nei due casi in cui esiste una soluzione analitica, le soluzioni sono facilmente ricavati.

Valori numeri delle soluzioni politropiche al raggio R, per diversi valori dell'indice. Fonte: M. Capaccioli.

Confronto con altri modelli

In che modo questi modelli politropici si confrontano con i risultati di una soluzione dettagliata delle equazioni di struttura stellare? Confrontiamo un modello politropico del Sole con indice $n=3$ (il cosiddetto Modello Standard di Eddington) con il Modello Solare Standard (SSM; Bahcall 1998, Physics Letters B, 433, 1). Il raggio adimensionale $\xi$ e la densità $\theta$ devono essere convertiti al raggio effettivo in metri e alla densità dimensionale in kg m^-3. Poi possiamo determinare come massa, pressione e temperatura varino con il raggio. Per determinare il fattore di scala, $\alpha\,$ , notiamo che sulla superficie del politropo $n=3$ ( $\theta = 0\,$ 4) abbiamo $\alpha = R / \xi_R \,$ , dove $R$ è il raggio della stella (il Sole in questo caso), e $\xi_R = 6.60$ è il valore di $\xi$ in superficie (cioè la radice della equazione di Lane-Emden).

Possiamo ora determinare la massa in funzione del raggio, tenendo conto che la variazione della massa con il raggio è data dall’equazione della conservazione della massa.

Ora eseguiamo i seguenti passi, lasciati allo studente come esercizio:

sostituire nell’equazione della conservazione della massa le grandezze $\theta$ e $\xi$ e, integrando,

ricavare l’espressione della derivata prima di $\xi$ dall’eqauazione di Lane-Emden e sostituire nella precedente.

Si ottiene l’espressione della massa in funzione del raggio:

$M = -4 \pi \, \alpha^3 \, \rho_c \, \xi_R^2 \, \left[ \frac{d \theta}{d \xi} \right]_{\xi=\xi_R} \,$ .

Confronto con altri modelli

Abbiamo quindi determinato la seguente espressione della massa in funzione del raggio:

$M = -4 \pi \, \alpha^3 \, \rho_c \, \xi_R^2 \, \left[ \frac{d \theta}{d \xi} \right]_{\xi=\xi_R} \,$ .

Esercizio: assumendo di conoscere massa e raggio del Sole da misure indipendenti, valutare la densità centrale dell’astro. Si può usare l’espressione qui sopra, valutata per $\xi$ corrispondente al valore del raggio del Sole.

Dalla conoscenza della massa in funzione del raggio $r$ è immediato ricavare pressione, densità e temperatura in funzione del raggio.

Il politropo funziona molto bene, considerando quanto semplice sia la fisica del modello. Abbiamo usato solo la massa e il raggio del Sole e un’assunzione sulla relazione tra pressione interna e la densità in funzione del raggio.

L’accordo è particolarmente buono nel nucleo della stella (vedi tabella a lato). Nelle regioni convettive esterne le soluzioni deviano significativamente.

Valori numerici centrali per la soluzione politropica n=3. Fonte: M. Capaccioli.

Le altre equazioni della struttura stellare

Per la soluzione politropica, si può facilmente trovare il gradiente di temperatura utilizzando la legge dei gas ideali e l’equazione politropica di stato. Questo è uguale al gradiente di temperatura adiabatico:

$\left| \frac{dT}{dR} \right| = \left( 1 - \frac{1}{\gamma} \right) \, \frac{\mu m_H}{k} \, \frac{G M_r}{r^2} \,$ .