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Amalia Caputo » 27.Introduzione all'analisi della relazione tra due variabili cardinali

Introduzione

Come si è avuto modo di specificare in precedenza (lez. 26), facendo ricorso al diagramma di dispersione è possibile non solo studiare la relazione tra due variabili cardinali ma è possibile stabilire anche che ‘forma’ questa relazione assume semplicemente analizzando il piano cartesiano.
Ma il ricorso al diagramma di dispersione rappresenta solo uno dei passaggi dell’analisi della relazione tra due variabili cardinali, anche in questo caso, infatti, è possibile servirsi di specifici coefficienti individuati grazie alla retta di regressione.

L’equazione della retta di regressione

b: Coefficiente angolare

b viene anche chiamato coefficiente “di accrescimento lineare” ed indica l’inclinazione della retta, ossia la variazione prevista nel valore della variabile Y per una variazione unitaria della variabile X (cioè la variazione dell’ordinata, quando l’ascissa varia di un’unità).

Interpretazione di b:

se b è negativo, la relazione fra X e Y è inversa (v. esempio).
se b è positivo, la relazione fra X e Y è diretta.
b è un indice relativo quindi può essere > 1

Esempio: si determinano i valori assunti da Y se X=0 (la retta non incontra l’asse delle X) e se X=1 (variazione unitaria).

b = variazione fra 71 e 70,63 è pari a – 0,37

La relazione fra X ed Y è inversa

a: Intercetta

Determinazione di a

Determinazione di a (segue)

Determinazione di a $a=\bar Y-b \bar X$

Baricentro - Punto al centro del diagramma, incontro tra le medie di X e Y $a+b\bar X=\bar Y$

La media della variabile dipendente è divisibile in due parti:

Intercetta a;
Media della variabile indipendente moltiplicata per il coefficiente b.

Calcolo di b per tracciare la retta di regressione

Per il baricentro passano infinite rette. Per individuare quella riferita ai dati si deve individuare b ovvero l’inclinazione della retta ossia la retta che passa per il punto dove si incontrano le medie (= baricentro).

Se $X_i= \bar X; \hat Y = \bar Y$

Se $X_i=0; \hat Y=a$

Infatti

$X_i=\bar X_i$ ………………… $\hat Y=a+bX_i$

$\bar Y=a+bX_i$ ………….. $\hat Y=a+bX_i$

……………………. $\hat Y= \bar Y$

Per un qualsiasi punto del piano cartesiano passano infinite rette.

Alcuni termini

Relazione: termine generale per qualsiasi rapporto fra due o più variabili, esistente o meno, effettivo o potenziale.(Marradi,1997)

Relazione bi-direzionale asimmetrica: riguarda la relazione fra due variabili, in cui la proprietà A influenza la proprietà B più di quanto ne è influenzata.

Relazione bi-direzionale simmetrica: relazione fra due variabili in cui le due proprietà si influenzano a vicenda con forza più o meno pari.

Relazione diretta (relazione positiva): relazione in cui l’incremento del valore di una variabile è accompagnato dall’incremento (o decremento) del valore dell’altra variabile.
Relazione inversa (relazione negativa): relazione in cui il valore di una variabile aumenta quando il valore della seconda variabile diminuisce, e diminuisce quando il valore dell’altra variabile aumenta.

Relazione lineare: guardando un diagramma a dispersione fra due variabili cardinali ci può sembrare che la relazione rappresentata sia approssimativamente lineare; per ottenere dei coefficienti che sintetizzino alcune caratteristiche di tale relazione si interpolano i punti del diagramma a dispersione mediante una retta.

Alcuni termini (segue)

Relazione monotonica: si ha relazione monotonica fra due serie di grandezze ordinate se si realizza una delle seguenti condizioni:se l’elemento A è maggiore dell’elemento B in una serie, lo è anche nell’altra; se l’elemento A è maggiore dell’elemento B in una serie, l’elemento A è minore dell’elemento B nell’altra. (Marradi,1993)

Relazione non lineare (curvilinea): spesso le relazioni sono monotoniche ma non lineari, cioè il punteggio in ordinata cresce al crescere del punteggio in ascissa, ma non con tasso costante.

Relazione unidirezionale: relazione fra due variabili, in cui la proprietà A influenza la proprietà B senza esserne influenzata.

Fonte: Università di Torino