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Amalia Caputo » 24.La relazione tra due variabili con categorie non ordinate - seconda parte

La covariazione e la controvariazione

Quando si intende analizzare la relazione tra due variabili categoriali ordinate si impiegano le misure di cograduazione.

Le misure di cograduazione si basano sul confronto tra i valori assunti dalle variabili su tutte le possibili coppie di casi.

Prima di affrontare nello specifico i coefficienti di cograduazione è opportuno chiarire cosa si intende quando due variabili covariano e contro-variano.

Co-variazione: si ha quando a valori alti di una variabile corrispondono valori alti anche dell’altra. Ciò accade quando i valori sono direttamente proporzionali.
Esempio: se all’aumentare del grado di fiducia nelle istituzioni aumenta anche il grado di soddisfazione nei confronti del loro operato.

Contro-variazione: si ha quando a valori alti di una variabile corrispondono valori bassi dell’altra. In tal caso i valori delle due variabili sono inversamente proporzionali.
Esempio: se all’aumentare del grado di fruizione nei confronti di un servizio diminuisce il grado di soddisfazione nei confronti della gestione dello stesso.

Covariazione e contro variazione: esempio

Come si individua la covariazione e la contro variazione?

Per stabilire se c’è covariazione o contro variazione è necessario prestare molta attenzione a come i dati si distribuiscono lungo le diagonali della tabella di contingenza .

È importante però tener presente che:

non sempre la tabella è quadrata e quindi in tali casi è improprio parlare di “diagonali” o intendere con tale termine le diagonali vere e proprie;
le diagonali della covariazione e della contro variazione si possono invertire qualora i valori non siano collocati in ordine crescente come in figura (dal più basso al più alto) ma in ordine decrescente.
tra due variabili ordinali c’è cograduazione se le frequenze della tabella di contingenza si addensano o sulla diagonale della cograduazione o intorno ad essa. Lo stesso accade sulla o intorno alla diagonale della contrograduazione quando c’è contrograduazione.

Fonte: Marradi, 1993, pp.84-85

Concordanza e discordanza

Concordanza e discordanza: esempio

Coppie cograduate:

Pierino e Marietta.
Marietta è più istruita e più soddisfatta di Pierino.

Coppie contrograduate:

Marietta e Pupo.
Marietta è meno istruita e meno soddisfatta di Pupo

Coppie concordanti: Pupo e Pippo.

Pupo è istruito e soddisfatto quanto Pippo.

Fonte: Marradi, 1997

Concordanza e discordanza: esempio 2

Sig. Rossi: ha la licenza media superiore e vive in un comune urbano.

In rosso: coppie co graduate.
In blu coppie contro graduate.

Il coefficiente gamma di Goodman e Krusal 1954

Caratteristiche:

varia tra -1 e +1.
- 1 associazione perfetta negativa
0 assenza di associazione
+ 1 associazione perfetta positiva

Limiti:

tende a sovrastimare la forza di un’associazione perché è un coefficiente bi-direzionale e perché non considera le coppie appaiate;
il suo valore risente del numero di modalità delle variabili,aumenta all’aumentare della sensibilità di una delle classificazioni delle variabili categoriali ordinate.

Categoriali ordinate: i coefficienti di Kendall

Per superare i limiti di gamma sono stati messi a punto i coefficienti di Kendall (1948) utilizzabili per tabelle quadrate e rettangolari. Essi rientrano nella famiglia dei coefficienti TAU.
La principale differenza tra gamma e i due tipi di coefficienti tau risiede nel modo in cui essi normalizzano.

Tau Q: Si utilizza per le tabelle quadrate, è in tal caso che può assumere valore 1 (massima associazione).

Tau R: La correzione introdotta per le tabelle rettangolari è quella che si basa sul numero minore tra il totale delle righe e il totale delle colonne (min).

Tau Q

Tau R

D di Somers

$D_{x,y}=\frac{P-Q}{P+Q+L_C}$

Coefficienti di cograduazione a confronto

Sintesi dei coefficienti di cograduazione

Il coefficiente rho di Spearman

Nelle scienze sociali accade raramente che ci si trovi dinanzi a variabili che hanno più di 11 modalità. In genere, solo il termometro dei sentimenti produce variabili con un numero di modalità superiore a 11 (che, tra l’altro, possono essere trattate come cardinali).
Quando si trattano variabili categoriali ordinate con più di 11 categorie di risposta si ricorre al coefficiente rho di Spearman. Nello specifico, esso rileva il grado di accordo fra graduatorie compilate da individui diversi.

Vedi figura.

Dove d è la differenza tra la posizione di un oggetto nella graduatoria relativa a due diversi criteri, cioè il suo punteggio sulle due variabili messe in relazione, e N è il numero degli oggetti messi a confronto nelle due graduatorie (Marradi, 1997,pp.90).
Il limite di rho è che risente dei valori estremi.

ρ di Spearman: esempio

I rapporti di probabilità

Uno dei possibili modi di guardare ad una relazione tra variabili categoriali ordinate è quello di ricorrere ai Rapporti di probabilità (odds).

Gli odds rappresentano il rapporto tra la probabilità che un soggetto estratto a caso appartenga alla variabile considerata e la probabilità che non vi appartenga.

I rapporti di probabilità non sono molto utilizzati se non nel campo delle scommesse. Più utilizzate sono le proporzioni e le proporzioni condizionate ma anche i rapporti di probabilità condizionata e i rapporti di associazione.

I rapporti di probabilità

I rapporti di probabilità: esempio

Le rappresentazioni grafiche

Istogramma di composizione

Si utilizza quando almeno una delle due variabili è ordinale. Vi si può ricorrere anche quando una variabile è ordinale è l’altra è una dicotomica o una categoriale, ma è la sola rappresentazione grafica più adatta quando ci troviamo dinanzi alla necessità di rappresentare una relazione tra due variabili categoriali ordinate.

L’unione di più istogrammi di composizione dà vita al grafico a colonne suddivise.