Gallerie del vento supersoniche
In generale le gallerie del vento (o tunnel del vento, o gallerie aerodina-miche) sono utilizzate per provare modelli di aeroplani, treni, automobili, ponti, etc., o loro componenti, in un opportuno regime di moto.
Nella gran parte dei casi non è possibile né costruire una galleria in cui provare il modello in scala 1:1, né riprodurre, durante le prove, le esatte condizioni termofluidodinamiche che si verificano nella realtà operativa.
Sfruttando le leggi della similitudine si cerca comunque di simulare i fenomeni di maggiore interesse quali l’attrito e la compressibilità la cuin rilevanza dipende dai corrispondenti raggruppamenti adimensionali (quali ad es. i numeri di Reynolds e di Mach).
I limiti del corso non consentono una trattazione completa delle problema-tiche associate alla prova di modelli in galleria e ci si limiterà, nel seguito, a considerare solo alcune gallerie supersoniche come applicazione della teoria degli ugelli.
Gallerie del vento supersoniche (segue)
Esistono vari tipi di gallerie del vento supersoniche (dette anche, nella letteratura anglosassone, supersonic wind tunnels) che si possono dividere in due categorie principali: gallerie stazionarie (o quasi stazionarie) e non stazionarie (del tipo shock tunnels). Per la loro importanza, in questo contesto saranno considerate solo le gallerie supersoniche stazionarie.
Questo tipo di tunnel è generalmente utilizzato quando i tempi di sperimentazione (di prova) devono essere relativamente alti.
Il loro impiego, di solito, richiede una potenza installata molto maggiore di quella relativa ad una galleria non stazionaria.
Da ciò deriva l’esigenza di studiare queste gallerie in maniera molto accurata per poter contenere i consumi di energia.
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Un tunnel supersonico stazionario può essere in generale schematizzato, come mostrato in figura, con un serbatoio di alimentazione ad alta pressione, una valvola, un ugello convergente divergente che serve ad accelerare il flusso, una camera di prova ed un serbatoio a bassa pressione.
Nella camera di prova, detta test section, (a sezione costante per non far variare ivi il numero di Mach), sarà posto il modello da provare cosi chè, in questa zona, il flusso deve essere necessariamente supersonico.
A partire da questo tipo di schematizzazione si possono individuare diverse possibili configurazioni di gallerie supersoniche.
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Nello studio di tutte queste configurazioni si supporrà che il moto possa essere considerato quasi-stazionario, unidimensionale, omoenergetico e che le perdite siano associate soltanto alle onde d’urto normali presenti nella galleria, e non alle onde d’urto (prevalentemente oblique) dovute alla presenza del modello nella camera di prova, nè agli effetti viscosi lungo la galleria.
Si analizzerà dapprima il caso in cui il serbatoio a bassa pressione sia costituito dall’ambiente esterno e cioè il tunnel scarichi direttamente nell’atmosfera.
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La valvola che collega il serbatoio all’ugello è inizialmente chiusa ed il fluido è quindi ovunque fermo. Quando la valvola viene aperta la differenza di pressione tra il serbatoio e l’ambiente fa accelerare il fluido attraverso l’ugello, così come descritto in precedenza e, finché il rapporto tra la pressione ambiente e quella di ristagno (all’interno del serbatoio) è minore del rapporto r2 relativo all’ugello, nella camera di prova il moto è supersonico.
Infatti, secondo questo comportamento schematico, il funzionamento della galleria è identico a quello dell’ugello convergente divergente attaccato ad un serbatoio, con la sola differenza che l’uscita di quest’ultimo è seguita da un tratto a sezione costante che costituisce la camera di prova nella quale il numero di Mach non varia. La condizione limite di funzionamento nella camera di prova è ovviamente quella per la quale l’onda d’urto obliqua presente nella sezione di uscita della test section diventa normale.
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La durata di una prova è calcolabile con le formule relative allo svuotamento di un serbatoio, avendo cura di considerare come limite inferiore per la pressione di ristagno quello derivante dal rapporto r2. In particolare, ipotizzando uno svuotamento isotermo del serbatoio di alimentazione, si può valutare il tempo massimo di prova:
Questo limite è puramente teorico perché la presenza nella camera di prova del modello provoca certamente la formazione di onde d’urto, con conseguente abbassamento della pressione di ristagno e quindi una diminuzione del tempo massimo di prova. Inoltre, anche le perdite di natura viscosa alle pareti causeranno una diminuzione della pressione di ristagno.
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Per aumentare il tempo massimo di prova in una galleria di questo tipo è possibile, come mostrato in figura, aggiungere un tratto divergente all’uscita della camera di prova che agisca da diffusore. Infatti, la presenza del divergente dà luogo ad una successiva ricompressione del fluido a valle di quella già prodotta dall’onda d’urto facendo, quindi, aumentare il tempo di prova.
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Nei due casi dianzi discussi, a parte il breve tempo necessario per l’accelerazione iniziale del fluido, il moto del fluido può essere considerato quasi-stazionario.
Pur tuttavia, mentre il numero di Mach, essendo fissato dal rapporto delle aree dell’ugello, rimane praticamente costante durante tutto il periodo di prova, il numero di Reynolds potrebbe variare in modo significativo qualora la pressione (cioè la densità) nel serbatoio, e di conseguenza nella camera di prova, fosse soggetta ad una forte diminuzione.
Per ovviare a questo inconveniente risulta decisamente opportuno introdurre a monte del convergente una valvola di laminazione che, mantenendo costante la pressione di ristagno, mantiene costante anche la pressione nella camera di prova.
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Un’altra configurazione possibile, rappresentata in figura, è quella per la quale il serbatoio ad alta pressione sia costituito dall’ambiente esterno.
In questo caso il moto viene generato dalla bassa pressione nel serbatoio, posto a valle della camera di prova, nel quale viene fatto il vuoto.
Al contrario di quanto succede nei due casi precedenti, con questa configurazione la pressione di ristagno rimane costante, essendo uguale a quella ambiente, mentre la pressione nella sezione di uscita della camera di prova (cioè quella nel serbatoio a bassa pressione) aumenta con l’andare del tempo.
Anche per questa configurazione il moto è supersonico in camera di prova finché (in assenza del modello) il rapporto tra la pressione nel serbatoio e quella ambiente è minore, o uguale, del rapporto r2 relativo all’ugello ps ≤ r2 pa.
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La temperatura di ristagno del fluido all’ingresso dell’ugello sarà durante la prova sempre uguale a quella ambiente poichè, trascurando gli scambi di energia nel modo calore (per le piccole differenze tra la temperatura di parete adiabatica e quella ambiente e la relativamente bassa lunghezza del condotto), essa non varia lungo il condotto quando il fluido attraversa l’ugello e successivamente la camera di prova.
La improvvisa decelerazione del fluido nel serbatoio non è isoentropica e provoca la conversione dell’energia cinetica ordinata in energia disordinata per cui la temperatura raggiunta dal fluido nel serbatoio risulta in pratica nuovamente uguale a quella dell’ambiente.
La non isoentropicità della decelerazione del fluido nel serbatoio non consente quindi alcun recupero di pressione per cui la pressione limite nel serbatoio risulta, praticamente, quella statica all’uscita della camera di prova.
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Anche in questo caso, peraltro, l’aggiunta di un tratto divergente, che colleghi la sezione di uscita della camera di prova con il serbatoio a bassa pressione, aumenta il tempo massimo di prova.
Fino a che il moto risulta strozzato nella gola dell’ugello, l’invariabilità della pressione e della temperatura di ristagno, a monte dell’ugello (nell’ambiente), implica la costanza delle condizioni termofluidodinamiche in camera di prova ed, in particolare, della portata e dei raggruppamenti adimensionali.
La massima pressione all’interno del serbatoio per la quale il moto resta supersonico in camera di prova si può sempre calcolare dal rapporto r2 e, conoscendo la portata di massa attraverso il tunnel (che, per quanto detto, resta costante) e il volume del serbatoio, si può calcolare il tempo massimo di funzionamento.
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Un’altra configurazione possibile è quella in cui entrambi i serbatoi sono presenti; in questo caso la pressione nel primo serbatoio diminuisce mentre quella nel secondo aumenta.
L’analisi di questo tipo di galleria risulta leggermente più complessa, perché entrano in gioco le pressioni all’interno di entrambi i serbatoi, ma non particolarmente difficile.
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Risulta ora interessante analizzare il caso in cui la differenza di pressione fra i due serbatoi, dovuta alla presenza dell’onda d’urto, sia prodotta, ad esempio, da un compressore.
In questo caso si ha a che fare con un tunnel supersonico a ciclo continuo e, così come mostrato in figura, i serbatoi possono essere di fatto sostituiti da un condotto di raccordo che colleghi monte e valle della camera di prova.
La presenza, in questo caso, di un secondo convergente divergente dopo la camera di prova sarà poi giustificata e lo scambiatore di calore, mostrato in figura, si rende indispensabile per raffreddare il fluido la cui temperatura di ristagno aumenta, a causa del lavoro fornitogli dal compressore.
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A titolo di esempio di seguito si considererà la sola zona del tunnel della figura precedente che presenta variazioni di area.
Inoltre, i vari diagrammi saranno tracciati per il caso particolare in cui il numero di Mach nella sezione di prova sia pari a 2.
Tale situazione è schematicamente rappresentata in figura, in cui la seconda gola è stata rappresentata con area maggiore di quella della prima per quanto si vedrà in appresso.
Il primo ugello è denominato semplicemente ugello della galleria (sarebbe più corretto chiamarlo effusore perché deve accelerare il fluido), mentre il secondo viene denominato diffusore perché ha lo scopo di decelerare il fluido e recuperare, per quanto possibile, pressione al fluido evolvente.
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Per semplificare la trattazione, si supporrà che (come d’altronde si realizza in pratica) l’area della sezione retta del condotto di raccordo risulti molto maggiore di quella della sezione di gola a monte della camera di prova.
In tale ipotesi, anche se nella gola si raggiungesse M = 1, il numero di Mach nel condotto sarà molto basso e sarà quindi possibile assumere, nel condotto stesso, una pressione di ristagno del fluido uguale a quella statica.
Nel caso mostrato in figura il rapporto fra l’area del condotto e quella della prima sezione di gola è pari a 3.4 (per cui, in esso, risulta al più M = 0.17 ed, al meno, p/po = 0.98.
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Inizialmente la velocità è nulla in qualsiasi sezione della galleria e, di conseguenza, la pressione statica coincide con la pressione di ristagno così come rappresentato dalle curve a (il rapporto p/po è ovunque unitario).
Per le ipotesi fatte, nel momento in cui si avvia il compressore, la corrente inizia a muoversi e, in regime subsonico, avendo trascurato qualsiasi tipo di effetto dissipativo, qualora si spegnesse il compressore essa continuerebbe teoricamente in un suo moto perpetuo.
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Una curva di funzionamento è quella del tipo indicato con la lettera b e, nelle ipotesi fatte, il numero di Mach e il rapporto p/po sono uguali all’ingresso e all’uscita perché corrispondenti ad aree uguali.
In realtà gli effetti viscosi faranno diminuire la pressione di ristagno (in questo regime praticamente proporzionale al quadrato della velocità in camera di prova) che deve essere fornita dal compressore.
Sia nell’ugello, che nel diffusore, il fluido inizialmente accelera, raggiungendo la massima velocità nella gola, e poi decelera; con un funzionamento simile a quello già visto per gli ugelli convergenti divergenti nel regime alla Venturi.
Nella camera di prova, poiché non ci sono variazioni di area della sezione retta, il fluido conserva la stessa velocità, cioè la stessa pressione.
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Il funzionamento rappresentato dalle curve c, per il quale si raggiunge M = 1 nella gola dell’ugello, potrà essere ottenuto solo se l’area della gola dell’ugello è minore, o al più uguale, a quella del diffusore. Se questa condizione non fosse soddisfatta, il flusso strozzerebbe prima nella gola del diffusore rendendo impossibile un ulteriore aumento del numero di Mach in qualunque altra sezione a monte del condotto. Nel caso della curva c, la pressione all’uscita del diffusore è individuata dal punto C che, come si può vedere dalla figura, di fatto coincide con la pressione di ristagno (risulta infatti: pC = 0.98 po, valore identico a quello in ingresso al condotto).
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Aumentando il regime di rotazione del compressore, (che fino a questo punto serviva solo a contrastare gli effetti viscosi), la pressione all’uscita del diffu-sore, e quindi all’uscita dell’ugello, tende a diminuire.
Si forma allora un’onda d’urto normale nella parte divergente dell’ugello ed il funzionamento è quello rappresentato ad esempio dalle curve d di figura.
La pressione all’uscita del diffusore (indicata dal punto D), che come già detto coincide praticamente con la pressione di ristagno in quella sezione, per la diminuzione della causata dall’onda d’urto, è sostanzialmente minore di quella all’ingresso che resta, peraltro, uguale a quella del punto C.
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Il compressore deve quindi fornire al fluido il salto di pressione pC – pD più le eventuali perdite viscose lungo il tratto rappresentato in figura, attraverso il condotto di raccordo e lo scambiatore di calore.
Nel caso in cui sia presente anche il modello in camera di prova, il compressore deve altresì fornire le perdite dovute alla resistenza aerodinamica (in questo caso subsonica) del modello stesso. A partire da questa condizione, un aumento (rispettivamente, una diminuzione) del regime di rotazione del copressore sposta in avanti (risp. indietro) l’onda d’urto diminuendo (risp. aumentando) la pressione (di ristagno) all’uscita del diffusore.
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Chiaramente, la formazione dell’onda d’urto, provocando una diminuzione della pressione di ristagno, fa aumentare l’area critica a valle dell’onda come si può dedurre dalla:
dove la temperatura di ristagno (e quindi la ao) non varia attraverso l’onda d’urto e ψ* è costante. Infatti, dalla costanza della portata attraverso la galleria si ha:
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L’area di gola del diffusore deve, dunque, essere in generale maggiore di quella dell’ugello e dovrà aumentare man mano che l’onda d’urto si muove verso la camera di prova, cioè man mano che la pressione all’uscita del diffusore (praticamente coincidente con quella di ristagno) diminuisce.
Per determinare la minima area di gola che permetta all’onda d’urto di essere ingoiata nel diffusore, è sufficiente determinare la massima diminuzione di pressione di ristagno.
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La massima diminuzione di pressione di ristagno si ha quando il numero di Mach a monte dell’urto è massimo.
Nel caso di un tunnel supersonico, questa condizione si verifica quando l’onda d’urto si trova immediatamente a monte della camera di prova, cioè quando si seguono le curve e corrispondenti al valore massimo del numero di Mach a monte dell’onda d’urto (che è evidentemente quello che si deve realizzare in camera di prova). In queste condizioni la pressione all’uscita del diffusore è quella indicata dal punto E ed il salto di pressione che deve essere fornito dal compressore è pari a pC – pE.
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Per le condizioni di figura (M = 2 e γ = 1.4), il rapporto tra le pressioni di ristagno a valle ed a monte dell’onda d’urto nelle sezioni da 3 a 4 è pari a 0.721 per cui l’area della gola del diffusore, per quanto visto, deve essere (almeno) 1/0.721 = 1.387 volte quella dell’ugello. In questo caso la perdita di pressione di ristagno risulta pertanto uguale a circa il 28% di quella iniziale.
Nell’ambito delle ipotesi fatte, quando il compressore produce un salto di pressione pari a pC – pE, l’onda d’urto si può trovare in una qualsiasi sezione della camera di prova (perché ivi non cambia il numero di Mach) e, se si porta nella sezione 4, può essere ingoiata e spostarsi nel divergente del diffusore.
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Infatti, ovunque sia situata l’onda, anche nella parte divergente del diffusore, il compressore, continuando a girare alla stessa velocità, fornisce lo stesso salto di pressione (la stessa diminuzione di pressione di ristagno); ne consegue che il numero di Mach a monte dell’onda d’urto nel divergente del diffusore deve essere uguale a quello in camera di prova e cioè l’onda deve necessariamente stabilirsi nella sezione che ha la stessa area della camera di prova (curva f).
La procedura descritta, necessaria per portare l’onda d’urto nel divergente del diffusore, è chiamata fase d’avviamento della galleria e comporta che il compressore fornisca la differenza di pressione pC – pE.
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Una volta superata questa fase, è possibile ridurre il regime di rotazione del compressore e portare l’onda in una sezione prossima a quella di gola, così come rappresentato dalle curve tratteggiate g di figura.
Così facendo si riduce il numero di Mach a monte dell’onda d’urto e conseguentemente la diminuzione di pressione di ristagno da essa provocata, che in questo caso diventa pari a pC – pG.
Si tratta comunque di un funzionamento limite poichè non è possibile avere l’onda d’urto esattamente nella gola del diffusore perché, ivi, l’onda sarebbe stabile per perturbazioni verso destra ma instabile verso sinistra, essendo espulsa dal diffusore e rendendo necessaria una nuova fase d’avviamento.
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Nelle condizioni di figura, il funzionamento limite corrisponde alle condizioni per le quali, come già calcolato, A5 / A*2 = 1.387 cui corrisponde M = 1.75 ed un rapporto tra le pressioni di ristagno a valle ed a monte dell’onda d’urto pari a 0.835.
La diminuzione di pressione di ristagno è quindi in questo caso pari al 16,5% invece del 28% che si aveva alla fine della fase di avviamento. Ciò significa che il compressore, in questa situazione, deve fornire, in termini di pressione, solo circa il 59% di quanto aveva fornito in fase di avviamento.
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Una volta avviato il tunnel, per diminuire ulteriormente il salto di pressione che deve essere fornito dal compressore, si potrebbe far avvenire l’onda d’urto, presente nel diffusore, ad un numero di Mach ancora più basso.
Ciò comporta l’utilizzo di un diffusore a geometria variabile nel quale, una volta avviato il tunnel, sia possibile far diminuire l’area della sezione di gola del diffusore (al più, teoricamente, sino al valore A2), ad esempio mediante una spina conica mobile che, avanzando verso la camera di prova, riducesse l’area di gola abbassando conseguentemente il numero di Mach nella gola stessa.
Un ulteriore accorgimento per facilitare la fase di avviamento consiste nell’introdurre il modello in camera di prova solo dopo aver avviato la galleria.
Questo eviterebbe le perdite di pressione di ristagno associate alle onde d’urto generate dalla presenza del modello in camera di prova.
Va infine ribadito che un diffusore del tipo convergente divergente può essere anche applicato ai tunnel di tipo non continuo (con serbatoi ad alta e/o a bassa pressione) precedentemente esaminati, per aumentarne il tempo di funzionamento.
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Ritornando al tunnel di tipo continuo, per quanto detto in precedenza si può concludere che il compressore è necessario per ripristinare la pressione di ristagno all’ingresso dell’ugello.
Ricordando la formulazione del bilancio di energia per sistemi aperti, è facile comprendere che il compressore, però, fa aumentare, oltre che la pressione di ristagno, anche la temperatura di ristagno.
Infatti, dalla:
si vede immediatamente che il lavoro del compressore incrementa l’entalpia totale, e cioè la temperatura totale, quindi, per ripristinare la temperatura di ristagno iniziale, è necessario inserire nel circuito anche uno scambiatore di calore.
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Gli aspetti termodinamici si comprendono meglio riportando i punti relativi alle diverse trasformazioni su un piano h-s (ovvero T-s). Nella figura i punti da 1 a 8 si riferiscono alle sezioni rappresentate nelle figure precedenti e il funzionamento è quello in condizioni di regime, cioè quello con l’onda d’urto nella gola del diffusore (o meglio un poco a valle di questa sezione).
Il punto 1 rappresenta, allora, le condizioni a monte dell’ugello, coincidenti per quanto detto con quelle di ristagno, mentre i punti 2 e 3 corrispondono rispettivamente a quelle nella gola e nella sezione di uscita dell’ugello.
Chiaramente, trascurando le perdite in camera di prova, il punto 4 coincide con il punto 3. Avendo supposto una ricompressione adiabatica reversibile nel convergente del diffusore, il punto 5 corrisponde alle condizioni nella gola del diffusore, mentre il punto 5a è relativo a quelle a valle dell’onda d’urto ivi presente. Quest’ultima trasformazione, che non è reversibile, è indicata con la linea ondulata.
A valle dell’onda d’urto, nel divergente del diffusore, la temperatura e la pressione aumentano in modo isoentropico sino al punto 7 che corrisponde praticamente alle nuove condizioni di ristagno e si deve, perciò, trovare alla stessa altezza del punto 1.
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Poi, il compressore cede energia al fluido portandolo al punto 8 che si trova alla stessa pressione del punto 1 ma ad una temperatura più elevata. Infatti, nell’ipotesi più semplice, un compressore può essere schematizzato come una macchina isoentropica, cosi chè il punto 8 si trova alla stessa entropia del punto 7 ma a una pressione e un’entalpia totale maggiori. Per valori bassi del numero di Mach, la trasformazione che avviene nello scambiatore di calore si può schematizzare con un processo a pressione costante.
La curva che unisce i punti 8 e 1 coincide, quindi, con l’isobara che rappresenta la sottrazione di calore al fluido nello scambiatore. Per valutare la potenza del compressore è necessario riscrivere la già ricordata equazione di conservazione dell’energia per sistemi aperti nel caso adiabatico 
:
Applicando questa relazione (gas più che perfetto) fra gli stati 7 ed 8 (che coincidono con quelli di ristagno) si ha:
quantità positiva perché To8 > To7. Il termine L è quindi negativo in quanto il compressore è una macchina operatrice.
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La To7 = To1 è una quantità nota mentre dello stato 8 si conosce solo la pressione di ristagno che coincide con quella del punto 1. Avendo supposto il processo di compressione isoentropico, la To8 si può calcolare dalla:
per cui sostituendo e tenendo presente che po8 = po1 e To7 = To1, si ha:
Tale relazione mostra che, a parità di rapporto di compressione realizzato dal compressore, la potenza necessaria è linearmente proporzionale alla temperatura di ingresso nel compressore . Per poter riportare il fluido alla stessa temperatura (entalpia) di ristagno del punto 1 è necessario sottrargli, questa volta sotto forma di calore, la stessa potenza che il compressore gli ha fornito sotto forma di lavoro. Questa potenza termica è quindi ancora calcolabile mediante la:
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Resta solo da valutare se è più conveniente inserire lo scambiatore di calore prima, o dopo, il compressore. Come mostrato in figura, se si introducesse lo scambiatore di calore prima del compressore, dal punto 7 si passerebbe, seguendo una isobara, al punto 8a e successivamente, con la trasformazione isoentropica di compressione, al punto 1. È noto che in un piano h-s le isobare sono delle curve divergenti tra loro verso destra per cui, il lavoro compiuto dal compressore in questo caso, 8a → 1, risulterebbe minore di quello compiuto nella trasformazione 7 → 8.
La seconda configurazione, che è certamente vantaggiosa dal punto di vista termodinamico, potrebbe essere però di difficile applicazione pratica poichè non è sempre possibile disporre del fluido freddo, necessario per un corretto funzionamento dello scambiatore di calore, con una temperatura minore di quella del punto 8a. In questo caso, comunque si otterrebbe:
dove la To8a può essere calcolata utilizzando la relazione per trasformazione isoentropica:
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To8a comunque risulta minore della To1 = To7 perché po7 < po1 .
Dal confronto tra i due casi si ottiene quanto mostrato nella figura a lato.
Si nota che, essendo il rapporto di compressione uguale nei due casi, poiché la temperatura all’ingresso del compressore è minore nella seconda configurazione, l’inserimento dello scambiatore di calore prima del compressore risulta termodinamicamente più efficiente.
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Un altro modo per pervenire alla stessa conclusione è il seguente.
È stato visto che la potenza del compressore (in termini di lavoro scambiato) e quella dello scambiatore di calore (in termini di calore) devono essere uguali.
Se ora i piani riportati nelle figure sono riguardati come piani T-s (e non h-s), le aree sottese dalle curve trasformazione rappresentano la quantità di calore scambiato durante la trasformazione stessa.
Orbene, l’area sottesa dalla trasformazione 8 → 1 è decisamente maggiore di quella della trasformazione 7 → 8a.
