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Carmela Cappelli » 2.Postulati e teoremi del calcolo delle probabilità, probabilità condizonata e teorema di bayes


Lo spazio campione

L’insieme di tutti i possibili risultati di una prova prende il nome di spazio campione e viene denotato con \Omega . Esso rappresenta l’evento che si verifica sempre poiché almeno uno degli eventi elementari che lo compongono si deve verificare come risultato della prova pertanto esso viene denominato evento certo.
La negazione \bar \Omega dell’evento certo è quindi l’evento che non si verificherà mai e viene detto evento impossibile e denotato con: \emptyset

Eventi incompatibili ed eventi necessari

Quando due eventi A e B non possono verificarsi contemporaneamente essi vengono detti incompatibili
e pertanto: A \cap B= \emptyset

Se invece la unione di due eventi dà luogo all’evento certo essi sono detti eventi necessari e quindi: A \cup B= \Omega

Se un insieme di eventi  E_i \subset \Omega è costituita da eventi necessari ed incompatibili allora si dice che essa costituisce una partizione di \Omega.

Formalmente:

1)  \bigcup_i E_i = \Omega
2)  E_i \cap E_j= \emptyset, \forall i\neqj

I postulati del calcolo delle probabilità

Individuati i concetti primitivi, l’impostazione assiomatica al calcolo delle probabilità prevede la enunciazione dei postulati:
La probabilità è una funzione a valori reali che soddisfa i seguenti postulati:

Postulato 1.  Pr(E_i)\geq 0, \ \forall E_i \subset \Omega  ;
Postulato 2.  Pr(\Omega)=1  ;
Postulato 3.  E_i \cap E_j= \emptyset \Rightarrow Pr(E_i \cup E_j)= Pr(E_i)+Pr(E_j) .

Quindi i postulati affermano che:

  1. la probabilità è una funzione che assegna ad ogni evento dello spazio campione un numero reale non negativo;
  2. la probabilità dell’evento certo è pari ad 1;
  3. la probabilità della unione di eventi incompatibili è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

Teoremi del calcolo delle probabilità

Dai postulati si possono derivare numerosi teoremi, riportiamo di seguito i principali

  1. Pr( \bar A)= 1- Pr(A)  ;
  2. Pr( \emptyset)= 0 ;
  3. 0 \leq Pr( A)\leq 1  ;
  4. A \subset B \Rightarrow Pr(A) \leq Pr(B) ;
  5. Pr(B \cap \bar A)= Pr(B)- Pr(A \cap B)  ;
  6. Pr(A \cup B)= Pr(A)+ Pr(B)- Pr(A \cap B) ;

La probabilità condizionata

Talvolta capita di dover calcolare la probabilità del verificarsi di un evento sapendo che un altro evento, collegato al primo per motivi logici o di successione temporale, si è verificato.
Tale situazione dà luogo alla cd. probabilità condizionata:

Dati due eventi A e B, si definisce probabilità condizionata la probabilità che B si verifichi dato che si è verificato A

Pr(B|A)=\frac{Pr(A \cap B)}{Pr(A)}

Indipendenza stocastica

Dalla formula della probabilità condizionata si ottiene quella per il calcolo della probabilità della intersezione tra due eventi:

Pr(A \cap B)= Pr(A)Pr(B|A)

Se il verificarsi dell’evento A non altera la probabilità del verificarsi di B e quindi Pr(B|A)=Pr(B), allora i due eventi si dicono indipendenti; formalmente:

Pr(A \cap B)= Pr(A)Pr(B)

Si noti che \emptyset ed \Omega sono indipendenti da qualunque evento. Inoltre, se A e B sono indipendenti lo sono anche:

  • A \ e \ \bar B
  • \bar A \ e \ B
  • \bar A \ e \ \bar B

Teorema delle probabilità totali

Un importante risultato collegato ala probabilità condizionata è costituito dal teorema delle probabilità totali

Siano dati gli eventi E1, E2, …, Ei, …,En necessari ed incompatibili tali cioè da costituire una partizione dello spazio campione \Omega, e sia A un evento appartenente ad \Omega. Il teorema delle probabilità totali afferma che:

Pr(A)= \sum_i Pr(A|E_i)Pr(E_i)
Quindi la probabilità dell’evento A è la media ponderata delle probabilità condizionate con pesi dati dalle probabilità degli eventi Ei condizionanti.

Teorema delle probabilità totali-esempio

Siano date due urne U1 ed U2 contenti palline banche e nere in diversa proporzione, in particolare U1 contiene 3 palline bianche 2 rosse, mentre U2 contiene 5 palline bianche ed 1 rossa.

Si effettua la estrazione di una pallina e si vuole calcolare la probabilità che, scelta un’urna caso, la pallina estratta sia bianca. In base al teorema delle probabilità totali si ha:

Pr(B)= Pr(B|U_1)Pr(U_1)+ Pr(B|U_2)Pr(U_2)

Ipotizzando che le due urne abbiano la medesima probabilità di essere scelte e quindi chePr(U_1)=Pr(U_2)=0.5 allora la probabilità cercata risulta essere:

Pr(B)= 3/5*0.5+5/6*0.5=0.72

Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes prende il nome dal reverendo Thomas Bayes cui è generalmente attribuito. Esso
costituisce una applicazione del teorema delle probabilità totali e riveste una notevole importanza nella statistica poiché ha dato inizio ad una vera e propria interpretazione alternativa che viene appunto denominata statistica bayesiana.
Con esso si introduce quello che viene denominato il “problema inverso“.

Teorema di Bayes – il problema inverso

Il cd problema inverso può essere esposto come segue:
si supponga che due “cause” (eventi)  E e \bar E possano entrambe dar luogo all’evento A come risultato di una prova. Posto che l’evento A si è verificato e sia quindi osservato, ci si chiede quale causa abbia agito nel suo manifestarsi, ovvero quale sia la probabilità che nella sua determinazione abbia agito l’una o l’altra delle due cause possibili. Si tratta quindi di risalire da un evento noto osservato ad una qualche caratteristica non nota della prova che lo ha generato. Attraverso il teorema di Bayes si determinano quindi le cd probabilità a posteriori:

Pr(E|A) e Pr(\bar {E}|A)

La soluzione proposta è:

Pr(E|A)=\frac {Pr(E)Pr(A|E)} {Pr(A)}

Pr(\bar E|A)=\frac {Pr(\bar E)Pr(A|\bar E)}{Pr(A)}

Dove, per il teorema delle probabilità totali, Pr(A)= Pr(E) Pr(A|E) + Pr(\bar E)Pr(A|\bar E)

Teorema di Bayes – il problema inverso (segue)

Il teorema di Bayes si generalizza al caso in cui vi siano k cause E1, E2, …,Ek che possono agire nella determinazione dell’evento A:

Pr(E_i|A)=\frac {Pr(E_i)Pr(A|E_i)}{Pr(A)}

Dove le  Pr(E_i) prendono il nome di probabilità a priori, mentre le  Pr(A|E_i) il nome di verosimiglianze.

Siccome Pr(A) è una costante, da tale formulazione emerge quello che è il paradigma della statistica bayesiana:

probabilità a posteriori ∝ probabilità a priori * verosimiglianze.

Teorema di Bayes

Si consideri il caso delle due urne viste in precedenza U1 ed U2, contenenti rispettivamente 3 palline bianche e 2 rosse e 5 palline bianche ed 1 rossa e si supponga che la prova consista nello scegliere un’urna caso e nell’estrarre una pallina e siano date le seguenti probabilità a prioriPr(U_1)=0.75Pr(U_2)=0.25

Posto che la pallina estratta sia bianca, Il teorema di Bayes consente di rispondere all’interrogativo se la pallina bianca che costituisce l’evento osservato, provenga dall’urna U1 oppure da dall’urna U2.

Le verosimiglianze sono date da:  Pr(B|U_1)=3/5=0.6 e   Pr(B|U_2)=5/6=0.83

Risulta inoltre: Pr(B)= Pr(U_1) Pr(B|U_1)+ Pr(U_2)Pr(B|U_2) =(0.6*0.75)+(0.83*0.25)= 0.6575

Applicando la formula del teorema di Bayes si ottengono le seguenti probabilità a posteriori:

Pr(U_1|B)= )=\frac{Pr(U_1)P(B|U_1)}{Pr(B)}=(0.75*0.6)/0.6575=0.68

e

Pr(U_2|B)= )=\frac {Pr(U_2)P(B|U_2)} {Pr(B)}=(0.25*0.83)/ 0.6575=0.32

Pertanto, si conclude che la pallina bianca sia stata estratta dall’urna U1. Si noti che a conclusioni diverse o parzialmente diverse si sarebbe giunti basandosi solo sulle verosimiglianze o solo sulle probabilità a priori.

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