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Carmela Cappelli » 17.Modelli per vc continue: la vc Esponenziale Negativa e la vc Gamma


Quantili della vc Esponenziale Negativa

Ricordiamo che la funzione di ripartizione della vc esponenziale negativa è definita come:
F(x)=\int_0^x f(t)dt= \int_0^x \theta e^{-\theta t} dt=1-e^{-\theta x}
Pertanto, per la definizione dei quantili si ha:
F(x_p)=p da cui 1-e^{-\theta x_p} =p

e quindi:
x_p= - \frac{1}{\theta} \log(1-p)

Fgm della vc Esponenziale Negativa

La vc esponenziale negativa ha funzione generatrice dei momenti esplicitabile, infatti si ha:
G(t)= E( e^{tx})=\int_0^ {\infty} e^{tx}\theta e^{-\theta x}dx &=& \theta \int_0^{\infty}e^{-x(\theta-t)}dx =\theta [\frac{- e^{-x(\theta -t)}}{(\theta -t)}]_0^{\infty} &=& \frac{\theta}{\theta-t}=(1-\frac{t}{\theta})^{-1}

d’altrocanto: (1-\frac{t}{\theta})^{-1}= \sum_{k=0}^\infty t^k(\frac{1}{\theta})^k= \sum_{k=0}^\infty \frac{k! t^k}{k!\theta^k} ovvero:  G(t)= \sum_{k=0}^\infty\frac{k! }{\theta^k} \frac{t^k}{k!}

Momenti della vc Esponenziale Negativa

Essendo in generale
G(t)=\sum_0^{\infty}\mu_r \frac{t^k}{k!} ne consegue che:
\mu_r= \frac{k!}{\theta^k} pertanto i momenti caratteristici della vc esponenziale sono:

  • E(X)= \frac{1} {\theta}
  • E(X^2)= \frac{2} {\theta^2}
  • VAR(X)=E(X^2)- [E(X)]^2= \frac{2} {\theta^2} - \frac{1} {\theta^2}= \frac{1} {\theta^2}

Si noti che il parametro \theta inverso del valore medio rappresenta il tasso di occorrenza inteso come reciproco del numero di eventi che si verificano nell’unità di tempo.

Alcuni risultati sulla vc Esponenziale Negativa

Quando {\theta}=1 si ottiene la formulazione standard della vc esponenziale negativa ossia Y \sim En(1) che ha funzione di densità e di ripartizione rispettivamente pari a:

  • f(y)=e^{-x}=1
  • F(y)=1- e^{-x}=1

Ovviamente è X= \theta Y \sim En(\theta) e quindi le proprietà dell’una si possono ottenere da quelle dell’altra. Inoltre, E(Y)= Var(Y)=1

La vc Esponenziale Negativa – esempio

Si supponga che un apparecchio elettrico sia sottoposto a revisione ogni 3 anni; si calcoli la probabilità che esso non cessi di funzionare per almeno 4 anni assumendo che il tempo intercorrente tra due revisioni successive sia rappresentabile mediante una vc esponenziale negativa.
Soluzione:
Sia X la vc che denota l’intervallo di tempo tra due revisioni, per ipotesi si ha: X \sim En(1/3)
Pertanto la probabilità richiesta risulta essere:

Pr( X \geq 4)=1- Pr(X < 4)= 1- \int_0^4 \frac{1}{3} \exp(-\frac{x}{3}) dx=1- 1+ \exp(- \frac{4}{3})=0.2635971

Al risultato si è giunti utilizzando la espressione derivata per la funzione di ripartizione della vc esponenziale negativa, ovvero: \int_0^x  \theta \exp(-\theta x)dx=1 - \exp(- \theta x)

La vc Gamma

Una vc X definita su supporto positivo si definisce vc Gamma con parametri \beta >0 e \theta>0 se ha funzione di densità:

f(x)= \frac{ \theta ^ \beta}{ \Gamma(\beta)} x^{\beta-1} \exp{(-\theta x)
e si denota con X \sim Ga(\beta, \theta)

Si noti che nel caso in cui sia \beta =1 la vc Gamma coincide con la vc esponenziale negativa di parametro \theta poiché, essendo \Gamma (1)=0!=1 si ha:

\frac{\theta}{1} x^{0} \exp(-\theta x) = \theta \exp(- \theta x)

Fgm della vc Gamma

La funzione generatrice dei momenti della vc gamma è definita come:
G(t)= E( e^{tx})=\int_0^ {\infty} e^{tx} \frac{\theta ^\beta}{\Gamma(\beta)}x^{\beta-1} e^{-\theta x} dx= (1-\frac{t}{\theta})^ {- \beta}

Da cui, sviluppando in serie
G(t)=(1-\frac{t}{\theta})^ {- \beta}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}k +\beta +1 \\  k\end{array}\right)\frac{ t^k} {\theta ^k} =\sum_{r=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}k +\beta +1 \\  k\end{array}\right)\frac{ t^k} {\theta ^k} \frac{k!}{k!} .

Da cui, utilizzando alcuni risultati visti sui fattoriali e sulla funzione Gamma risulta:

G(t)=\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(k +\beta +1)! }{k! (\beta +1)!}\frac{ t^k} {\theta ^k} \frac{k!}{k!} = \sum_{r=0}^{\infty}\frac{\Gamma(k+\beta)}{\Gamma (\beta)} \frac{t^k}{\theta ^k}\frac{1}{k!}.

Momenti della vc Gamma

Per il consueto principio di identità dei polinomi essendo in generale:
G(t)=\sum_{r=0}^{\infty}\mu_r \frac{t^k}{k!} ne consegue che:
\mu_r= \frac{\Gamma(r+ \beta)}{\Gamma(\beta)}\frac{1}{\theta^r} .

Pertanto i momenti caratteristici della vc esponenziale sono:

  • E(X)= \frac{ \Gamma (\beta+1)}{\theta \Gamma(\beta)}= \frac{\beta \Gamma(\beta)}{\theta \Gamma(\beta)} =\frac{\beta}{\theta}
  • E(X^2)= \frac{ \Gamma (\beta+2)}{\theta^2 \Gamma(\beta)}= \frac{(\beta+1) \Gamma(\beta+1)}{\theta ^2 \Gamma(\beta)}= \frac{\beta (\beta+1)}{\theta^2}
  • Var(X)=E(X^2)- [E(X)]^2= \frac{\beta (\beta+1)}{\theta^2} - \frac{\beta^2}{\theta^2}=\frac{\beta}{\theta^2}

Alcuni risultati sulla vc Gamma

La vc Gamma gode della proprietà riproduttiva, pertanto la somma di vc indipendenti del tipo X_i \sim Ga(\beta_i, \theta) è una vc Ga(\beta, \theta) dove \beta= \sum_i \beta_i ;
La vc X \sim En (\theta) coincide con una Ga(1, \theta) pertanto la somma di X_i \sim En(\theta) è un vc Ga(n, \theta) ;
Se \beta=\theta=1 allora la vc Ga(1,1) concide con la esponenziale negativa standard
Se X \sim U(0,1) allora -log(X)=En(1) e quindi se X_i  \sim U(0,1) sono vc indipendenti allora -log \sum_{i=1}^k X_i \sim Ga (k,1)

La vc Gamma-esempio

Sia X una vc Gamma che ha valore atteso \mu= 6 e varianza Var= 12 . Si determinino i parametri della distruzione.

Soluzione:
Ricordiamo che i momenti della vc gamma sono definiti come:

  • E(X)= \frac{\beta}{\theta}
  • Var(X)=\frac{\beta}{\theta^2}

Utilizzando tali relazioni è possibile impostare il seguente sistema di due equazioni in cui incognite:

\left \{\begin{array}{ccc}\frac{\beta}{\theta}= 6 \\ \\\frac{\beta}{\theta^2} =12\end{array} \right

Da cui, svolgendo risulta:

\left \{\begin{array}{ccc}\beta= 3 \\ \\\theta =\frac{1}{2}\end{array} \right

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