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Carmela Cappelli » 17.Modelli per vc continue: la vc Esponenziale Negativa e la vc Gamma

Quantili della vc Esponenziale Negativa

Ricordiamo che la funzione di ripartizione della vc esponenziale negativa è definita come:
$F(x)=\int_0^x f(t)dt= \int_0^x \theta e^{-\theta t} dt=1-e^{-\theta x}$
Pertanto, per la definizione dei quantili si ha:
$F(x_p)=p$ da cui $1-e^{-\theta x_p} =p$

e quindi:
$x_p= - \frac{1}{\theta} \log(1-p)$

Fgm della vc Esponenziale Negativa

La vc esponenziale negativa ha funzione generatrice dei momenti esplicitabile, infatti si ha:
$G(t)= E( e^{tx})=\int_0^ {\infty} e^{tx}\theta e^{-\theta x}dx &=& \theta \int_0^{\infty}e^{-x(\theta-t)}dx =\theta [\frac{- e^{-x(\theta -t)}}{(\theta -t)}]_0^{\infty} &=& \frac{\theta}{\theta-t}=(1-\frac{t}{\theta})^{-1}$

d’altrocanto: $(1-\frac{t}{\theta})^{-1}= \sum_{k=0}^\infty t^k(\frac{1}{\theta})^k= \sum_{k=0}^\infty \frac{k! t^k}{k!\theta^k}$ ovvero: $G(t)= \sum_{k=0}^\infty\frac{k! }{\theta^k} \frac{t^k}{k!}$

Momenti della vc Esponenziale Negativa

Essendo in generale
$G(t)=\sum_0^{\infty}\mu_r \frac{t^k}{k!}$ ne consegue che:
$\mu_r= \frac{k!}{\theta^k}$ pertanto i momenti caratteristici della vc esponenziale sono:

$E(X)= \frac{1} {\theta}$
$E(X^2)= \frac{2} {\theta^2}$
$VAR(X)=E(X^2)- [E(X)]^2= \frac{2} {\theta^2} - \frac{1} {\theta^2}= \frac{1} {\theta^2}$

Si noti che il parametro $\theta$ inverso del valore medio rappresenta il tasso di occorrenza inteso come reciproco del numero di eventi che si verificano nell’unità di tempo.

Alcuni risultati sulla vc Esponenziale Negativa

Quando ${\theta}=1$ si ottiene la formulazione standard della vc esponenziale negativa ossia $Y \sim En(1)$ che ha funzione di densità e di ripartizione rispettivamente pari a:

$f(y)=e^{-x}=1$
$F(y)=1- e^{-x}=1$

Ovviamente è $X= \theta Y \sim En(\theta)$ e quindi le proprietà dell’una si possono ottenere da quelle dell’altra. Inoltre, $E(Y)= Var(Y)=1$

La vc Esponenziale Negativa – esempio

Si supponga che un apparecchio elettrico sia sottoposto a revisione ogni 3 anni; si calcoli la probabilità che esso non cessi di funzionare per almeno 4 anni assumendo che il tempo intercorrente tra due revisioni successive sia rappresentabile mediante una vc esponenziale negativa.
Soluzione:
Sia X la vc che denota l’intervallo di tempo tra due revisioni, per ipotesi si ha: $X \sim En(1/3)$
Pertanto la probabilità richiesta risulta essere:

$Pr( X \geq 4)=1- Pr(X < 4)= 1- \int_0^4 \frac{1}{3} \exp(-\frac{x}{3}) dx=1- 1+ \exp(- \frac{4}{3})=0.2635971$

Al risultato si è giunti utilizzando la espressione derivata per la funzione di ripartizione della vc esponenziale negativa, ovvero: $\int_0^x \theta \exp(-\theta x)dx=1 - \exp(- \theta x)$

La vc Gamma

Una vc X definita su supporto positivo si definisce vc Gamma con parametri $\beta >0$ e $\theta>0$ se ha funzione di densità:

$f(x)= \frac{ \theta ^ \beta}{ \Gamma(\beta)} x^{\beta-1} \exp{(-\theta x)$
e si denota con $X \sim Ga(\beta, \theta)$

Si noti che nel caso in cui sia $\beta =1$ la vc Gamma coincide con la vc esponenziale negativa di parametro $\theta$ poiché, essendo $\Gamma (1)=0!=1$ si ha:

$\frac{\theta}{1} x^{0} \exp(-\theta x) = \theta \exp(- \theta x)$

Fgm della vc Gamma

La funzione generatrice dei momenti della vc gamma è definita come:
$G(t)= E( e^{tx})=\int_0^ {\infty} e^{tx} \frac{\theta ^\beta}{\Gamma(\beta)}x^{\beta-1} e^{-\theta x} dx= (1-\frac{t}{\theta})^ {- \beta}$

Da cui, sviluppando in serie
$G(t)=(1-\frac{t}{\theta})^ {- \beta}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}k +\beta +1 \\ k\end{array}\right)\frac{ t^k} {\theta ^k} =\sum_{r=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}k +\beta +1 \\ k\end{array}\right)\frac{ t^k} {\theta ^k} \frac{k!}{k!}$ .

Da cui, utilizzando alcuni risultati visti sui fattoriali e sulla funzione Gamma risulta:

$G(t)=\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(k +\beta +1)! }{k! (\beta +1)!}\frac{ t^k} {\theta ^k} \frac{k!}{k!} = \sum_{r=0}^{\infty}\frac{\Gamma(k+\beta)}{\Gamma (\beta)} \frac{t^k}{\theta ^k}\frac{1}{k!}$ .

Momenti della vc Gamma

Per il consueto principio di identità dei polinomi essendo in generale:
$G(t)=\sum_{r=0}^{\infty}\mu_r \frac{t^k}{k!}$ ne consegue che:
$\mu_r= \frac{\Gamma(r+ \beta)}{\Gamma(\beta)}\frac{1}{\theta^r}$ .

Pertanto i momenti caratteristici della vc esponenziale sono:

$E(X)= \frac{ \Gamma (\beta+1)}{\theta \Gamma(\beta)}= \frac{\beta \Gamma(\beta)}{\theta \Gamma(\beta)} =\frac{\beta}{\theta}$
$E(X^2)= \frac{ \Gamma (\beta+2)}{\theta^2 \Gamma(\beta)}= \frac{(\beta+1) \Gamma(\beta+1)}{\theta ^2 \Gamma(\beta)}= \frac{\beta (\beta+1)}{\theta^2}$
$Var(X)=E(X^2)- [E(X)]^2= \frac{\beta (\beta+1)}{\theta^2} - \frac{\beta^2}{\theta^2}=\frac{\beta}{\theta^2}$

Alcuni risultati sulla vc Gamma

La vc Gamma gode della proprietà riproduttiva, pertanto la somma di vc indipendenti del tipo $X_i \sim Ga(\beta_i, \theta)$ è una vc $Ga(\beta, \theta)$ dove $\beta= \sum_i \beta_i$ ;
La vc $X \sim En (\theta)$ coincide con una $Ga(1, \theta)$ pertanto la somma di $X_i \sim En(\theta)$ è un vc $Ga(n, \theta)$ ;
Se $\beta=\theta=1$ allora la vc $Ga(1,1)$ concide con la esponenziale negativa standard
Se $X \sim U(0,1)$ allora $-log(X)=En(1)$ e quindi se $X_i \sim U(0,1)$ sono vc indipendenti allora $-log \sum_{i=1}^k X_i \sim Ga (k,1)$