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Carmela Cappelli » 5.Teoria delle variabili casuali


Definizione di vc

Un variabile casuale è una regola che associa ad ogni evento dello spazio campione un numero reale.

Quindi la vc stabilisce una corrispondenza tra il dominio degli eventi \Omega ed il codominio R dei numeri reali. Denotiamo con X la vc, si ha che \forall E \subset \Omega la vc X assume un valore x \in R. L’insieme dei valori che la vc può assumere è detta supporto della vc.

Rappresentazione della corrispondenza creata da una variabile casuale tra eventi e numeri reali.

Rappresentazione della corrispondenza creata da una variabile casuale tra eventi e numeri reali.


Definizone di vc (segue)

La corrispondenza tra eventi del domino e numeri reali del codominio non è biunivoca: lo stesso numero reale può essere associato a più eventi (vedasi gli eventi E2 ed E6 nella figura della slide precedente). La regola che crea la corrispondenza è arbitraria: la stessa prova può dare luogo a vc differenti a seconda di come viene definita la regola .

Esempio 1

Si consideri il caso del lancio di un dado regolare e si definisca la variabile casuale X che associa ad ogni evento dello spazio campione \Omega= \{E_1,E_2,E_3,E_4,E_5,E_6\} un numero reale pari al numero che compare sulla faccia del dado che esce: (vedi figura).

Quindi il supporto della variabile casuale X è costituito dai numeri interi da 1 a 6 ciascuno con probabilità costante e pari ad 1/6.


Esempio 2

La medesima prova consistente nel lancio di un dado regolare può dare luogo ad un’altra variabile casuale nel caso si sia interessati, ad esempio, all’uscita di un numero pari. In tale caso si definisce la vc X che assume valore 0 in caso di uscita di un numero dispari e valore 1 in caso di uscita di un numero pari, (vedi figura).

Quindi, il supporto della variabile casuale X è costituito dai numeri 0 ed 1 con probabilità ciascuno pari ad 1/2 .


Assegnazione di probabilità

Gli esempi riportati mostrano come, nel caso di spazi di probabilità discreti (finiti o numerabili) sia molto agevole ricavare le probabilità associate ai valori assunti dalla vc a partire dalle probabilità degli eventi; in caso invece prove che generano spazi campione i cui elementi sono un’infinità continua la assegnazione di probabilità è più complicata, problema che viene risolto grazie alla misurabilità delle funzioni che definiscono le vc:

Una vc è una funzione misurabile a valori reali definita sullo spazio degli eventi.

Aspetti qualificanti delle vc

Ai fini della conoscenza di una vc occorre porsi 3 quesiti:

  1. Quando una vc può dirsi nota?
  2. Sotto quali condizioni la vc può dirsi ben definita?
  3. Come si può rappresentare graficamente la vc?

Vc discrete

Una vc discreta è una funzione misurabile a valori reali che crea una corrispondenza tra ogni evento E incluso in \Omega ed un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali.

La vc discreta è nota quando sono noti i valori che essa può assumere e le rispettive probabilità ovvero le coppie (x_i, p_i) dove p_i = Pr(X=X_i).

L’insieme dei valori assumibili dalla vc con le rispettive probabilità è detta distribuzione di probabilità. Affinchè la vc sia ben definita deve essere:

1) p_i\ge0, \forall_i=1,2.....

.
2) \sum_i p_i =1

Vc dicrete – esempio

Si consideri la prova consistente nel lancio di 3 monete. Lo spazio campione è costituito dai seguenti eventi: T T T , T C T, T C C,C T T ,C T C ,CCT ,TCT ,CCC.

Se scommettiamo sull’uscita di testa allora possiamo definire la vc X = {num. di T in 3 lanci} il cui valore è ignoto prima di effettuare l’esperimento. Tutto ciò che possiamo dire è:

  • Quali valori può assumere X
  • Con quali probabilità essi vengono assunti.

Vc dicrete – esempio

X assume i valori {0,1,2,3} con le seguenti probabilità:

P(X = 0) = P(CCC) = 1/8;

P(X = 1) = P([CCT]∪[CTC] ∪[TCC]) = 3/8;

P(X = 2) = P([CTT]∪[TTC]∪[TCT]) = 3/8;

P(X = 3) = P(TTT) = 1/8.


Vc continue

Una vc continua è una funzione misurabile a valori reali che crea una corrispondenza tra ogni evento E \subset \Omega di uno spazio di probabilità continuo ed un numero reale x \in R . La vc continua è nota se  \forall x \in R è nota la sua funzione di ripartizione F(x) o la sua derivata f(x):

F(x)=Pr(- \infty \leq X\leq x)= \int_{- \infty}^{x} f(x)dx

\frac {d F(x) } {dx}= f(x)

f(x) è detta funzione di densità. Affinché la vc sia ben definita deve essere:

f(x)\geq 0

\int_{- \infty}^{+\infty} f(x)dx =1

Per le vc continue si considera come supporto l’intera retta reale quindi l’intervallo (-∞,+∞); nel caso in cui esso invece è un sotto-intervallo di R si attribuisce valore 0 alla f(x) per i valori che la vc non può assumere.

Vc continue (segue)

Si noti che la funzione di densità f(x) non è una probabilità ma è legata alla probabilità di un intervallo infinitesimo ossia alla probabilità che la vc assuma valore in un intervallo infinitesimo del tipo (x0, x0+dx):

Pr(x_0 \leq X \leq x_0+dx)= \int_{x_0}^{x_0+dx} f(x)dx = f(x_0)dx

Quindi f(x) è proporzionale ala probabilità di un intervallo infinitesimo come mostrato in figura. Ciò spiega anche perché per le vc continue Pr(X=x0)=0 essendo Pr(X=x_0)= \int_{ x_0}^{x_0} f(x)dx = 0

Ciò, che può apparire un paradosso poiché x0 è uno dei valori che la vc può assumere, discende dalla natura continua della vc e conferma l’esistenza di eventi quasi impossibili ossia eventi a probabilità nulla che però non sono l’evento impossibile.

La funzione di densità di una vc continua.

La funzione di densità di una vc continua.


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