Antonella di Luggo » 32.L'assonometria ortogonale

Assonometria ortogonale

L’assonometria è un metodo di rappresentazione che conserva il parallelismo tra rette ed è un tipo di proiezione detta cilindrica o parallela in quanto i raggi visuali sono paralleli tra loro.

Le proiezioni sono ottenute da un centro di proiezione posto all’infinito R∞ su di un piano π detto quadro.

Il riferimento nello spazio è dato inoltre da una terna di assi cartesiani ortogonali x, y, z – a cui è opportunamente riferito l’oggetto – ove l’asse z è sempre verticale.

Quando la direzione del centro di vista R∞ è ortogonale rispetto al piano π la proiezione assonometrica si dice ortogonale.

Assonometria ortogonale (segue)

Il riferimento su quadro è dato dagli assi x’, y’, z’, aventi origine in O’ che sono le proiezioni sul piano π degli assi x, y, z aventi origine in O.

Gli assi x, y, z intersecano il piano π nei punti Tx, Ty, Tz, mentre le intersezioni dei piani coordinati xy, yz, xz, con il piano π saranno individuate rispettivamente dalle tracce txy, tyz, txz, che sono anche i lati del triangolo che si viene a formare sul piano π nell’intersezione con i triedro dei piani coordinati. Questo triangolo è detto triangolo fondamentale o triangolo delle tracce.

Assonometria isometrica, dimetrica, trimetrica

In figura 1:

1. Se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce equilatero, l’assonometria si dice isometrica o monometrica e l’unità di misura si proietta in tre segmenti uguali tra di loro.
2. Se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce isoscele, l’assonometria si dice dimetrica.Si ha un sistema di assi con due angoli al centro uguali: l’unità di misura si proietta in due segmenti uguali tra loro e uno diverso.
3. Se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce scaleno, l’assonometria si dice trimetrica. L’unità di misura si proietta in segmenti minori dell’unità di misura e diversi tra loro.

Assonometria isometrica

L’assonometria isometrica è un’assonometria ortogonale i cui assi assonometrici – proiezione ortogonale di assi cartesiani ugualmente inclinati rispetto al quadro – formano angoli di 120°. Le relative unità di misura risultano ugualmente accorciate, e precisamente u_x = u_y = u_z= 0,8 dove u è l’unità degli assi cartesiani nello spazio.

È possibile evitare i calcoli per la riduzione e il trasporto di misure della figura, operando esclusivamente per via grafica sul foglio dell’assonometria, trasformando cioè la pianta nella corrispondente pianta assonometrica mediante omologia (inversa) di ribaltamento.

Assonometria isometrica (segue)

Nell’assonometria isometrica il triangolo fondamentale è un qualunque triangolo equilatero che abbia i vertici sugli assi assonometrici e ciascun lato tzx, txy, tyz, perpendicolare a un asse. Le diverse grandezze dei triangoli dipendono dalla distanza del quadro dall’origine O degli assi cartesiani.

In figura 2: il lato txz del triangolo equilatero, rappresenta la traccia del piano xz sul quadro ed è perpendicolare al prolungamento dell’asse y. Il lato tyz del triangolo equilatero rappresenta la traccia del piano yz sul quadro ed è perpendicolare al prolungamento dell’asse x. Il lato txy del triangolo equilatero rappresenta la traccia del piano xy sul quadro ed è perpendicolare al prolungamento dell’asse x.

Assonometria isometrica (segue)

Al fine di riportare il modello spaziale sul piano della rappresentazione, i tre piani xy, xz, yz, vengono ribaltati sul piano assonometrico immaginando una rotazione di ciascun piano intorno alla rispettiva traccia con il quadro.

Ad esempio, nel ribaltamento del piano xy sul quadro e con esso della figura data, il punto O, che nello spazio è il vertice dell’angolo retto formato dagli assi x e y, viene rappresentato sul piano assonometrico attraverso il suo ribaltato O*, intersezione di una semicirconferenza avente per diametro la traccia txy, lato orizzontale del triangolo fondamentale, con il prolungamento del l’asse z’, cioè con la perpendicolare al lato condotta per O’ proiezione ortogonale di O sul piano assonometrico. Dopo aver unito O* con Tx e Ty, a partire da O* si riporta l’unità di misura non deformata su x* e y* trasportandola sugli assi assonometrici x’ e y’ .

Analoghe operazione vanno fatte a partire da tzx e tzy.

Assonometria isometrica (segue)

Sappiamo che, nel caso di proiezioni parallele, l’omologia di ribaltamento è un’affinità, e poiché la proiezione è ortogonale, si tratta di un’affinità ortogonale, avente per asse la retta txy comune al piano della figura e al quadro. I punti O’ e 0* sono corrispondenti e sono ancora corrispondenti le rette x’ e x* e y’ e y* nonché le relative coppie di punti impropri.

Tra le immagini x’O'y’ e x*O*y* c’è un’affinità omologica ortogonale, con asse txy, centro improprio U, punti corrispondenti O’ O*.

Nel ribaltare i piani coordinati si avrà cura di ribaltare in vera forma anche gli elementi in essa contenuti.

Assonometria isometrica (segue)

Per determinare poi l’unità di misura sugli assi x’, y’, z’: si ribalta attorno ai lati del triangolo fondamentale il punto O sul piano assonometrico.