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Antonella di Luggo » 23.Geometria dell'arco


L’arco

Definizione

Si definisce arco un elemento curvo a sviluppo bidimensionale in pietra od altro materiale che permette l’apertura di varchi in un muro, e che scarica i pesi – che gravavano sulla parte di muro tolta – sui pilastri o piedritti che lo reggono.

L’arco può assumere varie conformazioni nel suo sviluppo, che vanno dalla linea retta (architrave) alla linea curva (arco propriamente detto) passando per una serie di variazioni che possono essere classificate in base al rapporto tra l’altezza e la larghezza della sua figura.

L’arco è lo sviluppo lineare di una curva e quindi l’appartenenza ad un solo piano fa si che le forze che trasportano i carichi abbiano una componente uguale a zero.

L’arco rappresenta l’insieme di un determinato numero di parti denominate conci: ogni concio scarica il suo peso – più il peso che sopporta – sui conci adiacenti, reggendosi per mutuo contrasto.

Ha collaborato alla redazione di questa lezione l’arch. R. Catuogno.


Nomenclatura dell’arco

Il concio, che in un arco regolare troviamo in posizione centrale o comunque più in alto è denominato concio di chiave; i conci che terminano l’arco si chiamano conci di imposta e sono i conci che trasmettono la risultante totale dei carichi alla struttura che sorreggerà il tutto. I conci di imposta trasmetteranno quindi in carico a terra mediante sostegni che a seconda del caso avranno forma diversa e che denomineremo piedritti. Onde evitare il disassamento dei conci per effetto del carico è necessario un riequilibrio delle spinte dato dai rinfianchi dell’arco.

Fin qui le parti che conformano la struttura materialmente e che possono definirsi invarianti.

Gli altri elementi a seconda della loro dimensione, forma e rapporto classificano l’arco.

La superficie interna dell’arco è detta intradosso o imbotte, quella esterna estradosso, mentre quella frontale archivolto. La curva che segue il profilo interno dell’arco è detta sesto. La distanza tra i conci di imposta, e quindi piedritti è detta luce, mentre l’altezza del concio di chiave dal piano di imposta è della freccia o monta. La porzione compresa tra il piano d’imposta e un angolo di 30 gradi è detta rene dell’arco e serve a reggere eventuali spinte orizzontali. L’andamento dell’intradosso è detto sesto, in base al sesto è possibile definire l’arco.

Nomenclatura

Nomenclatura

Arco: elementi costitutivi

Arco: elementi costitutivi


Gli archi


Gli archi (segue)

Il rapporto tra freccia e monta fa variare il sesto dell’arco e più precisamente:

  • se la freccia è uguale a metà della luce allora diremo che l’arco è a tutto sesto (l’intradosso è un semicerchio col centro sul piano d’imposta;
  • se la freccia è maggiore della metà della luce allora diremo che l’arco è a sesto rialzato, a sesto acuto, parabolico o ellittico (l’intradosso è una semiellisse oppure una parabola oppure a ogiva e cioè spezzato in chiave);
  • se la freccia è minore della metà della luce diremo che l’arco è a sesto ribassato, policentrico, a sesto scemo (se l’intradosso ha il profilo semicircolare con centro situato più in basso del piano d’imposta);
  • policentrico se la curva è l’unione di più porzioni di arco con la tangente all’imposta ortogonale al piano d’imposta oppure semiellittico). Per gli archi a sesto rialzato e a sesto ribassato è possibile poi avere la monta rialzata o depressa. Quando i piani di imposta di un arco si trovano a quota differente si ha l’arco rampante.
F = l/2 arco a tutto sesto
F > l/2 arco a sesto rialzato (sesto acuto, ellittico)
F < l/2 arco a sesto ribassato

Gli archi (segue)

Arco a tutto sesto

Arco a tutto sesto

Arco a sesto rialzato

Arco a sesto rialzato

Arco a sesto ribassato

Arco a sesto ribassato


Arco a sesto acuto – Costruzione

L’arco a sesto acuto viene anche detto “a ogiva” o “ogivale”. Nella costruzione del profilo (sesto) bisogna fissare la freccia e la luce, poi si collega con un segmento il punto V con i punti d’imposta A e B, tracciando l’asse del segmento VA e VB troveremo sul piano d’imposta i centri per tracciare le due porzioni d’arco che determineranno  una cuspide in sommità (fig. 1 e 2).

Fig. 1

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 2


Arco a sesto acuto


Arco a sesto rialzato, arco parabolico

A. Gaudì, Palazzo Guell, Barcellona

A. Gaudì, Palazzo Guell, Barcellona


Arco a sesto ribassato semiellittico – Costruzione

Si traccia la luce AB e se ne disegna la freccia OE (fig. 3). Si tracciano due circonferenze concentriche di raggio OA ed OE. Successivamente si divide uno dei due cerchi in un numero di parti uguali. Per O si tracciano i raggi che intersecheranno le due circonferenze. Dal punto 1 sulla circonferenza maggiore (di raggio OA) si traccia una retta verticale, dal punto 1 sulla circonferenza minore (di raggio OE) si traccia una retta orizzontale, e così per gli altri punti. Dall’intersezione delle rette orizzontali e le rette verticali troveremo la successione di punti che ci permetterà di tracciare la semiellisse.

Analoga costruzione è per l’arco a sesto rialzato a profilo semiellittico, variando nel fatto che a partire dal punto 1 sulla circonferenza maggiore (di raggio OA) si traccia una retta orizzontale, dal punto 1 sulla circonferenza minore (di raggio OE) si traccia una retta verticale, e così per gli altri punti. Unendo l’insieme dei punti che risultano dall’intersezione delle rette orizzontali e le rette verticali sarà possibile tracciare la semiellisse.

Fig. 3

Fig. 3


Retta di Pascal

Un metodo per verificare geometricamente se l’arco rilevato è una semillisse o un arco policentrico è la costruzione della retta di Pascal.

Si procede riportando la luce dell’arco e la quota di almeno sei punti (A, B, C, D, E, F) due dei quali possono essere quelli a quota d’imposta. Successivamente si uniscono a due a due le quote dei punti tracciando delle rette. Prolungando queste rette esse si incontreranno in tre punti (in figura 5: G, H, L). Se questi tre punti risultano allineati, allora l’arco rilevato è una semiellisse, diversamente è un arco policentrico.

Fig. 4

Fig. 4

Fig. 5

Fig. 5


Arco a sesto ribassato, policentrico a tre centri

Un arco è policentrico se la curva è l’unione di più porzioni di arco con la tangente all’imposta ortogonale al piano d’imposta. Conoscendo la costruzione geometrica è possibile rilevare e verificare se l’arco è a tre centri o semiellittico. Per poter disegnare un arco policentrico bisogna rilevare la luce AB e la freccia OE.

Costruzione dell’arco policentrico

Tracciare la luce AB e la freccia OE (fig. 6); tracciare una circonferenza di raggio OA; prolungare OE intersecando la circonferenza in D; unire i punti A e B con E;  tracciare la circonferenza di centro E e raggio ED che intersecherà le rette AE e BE nei punti k1 e k2;  tracciare una retta ortogonale al segmento Ak1 passante per il punto medio m1; tracciare una retta ortogonale al segmento Bk2 passante per il punto medio m2; le due rette tracciate si incontreranno in C3 ed intersecheranno AB nei punti C1 e C2;  C1, C2, C3 rappresentano i tre centri di altrettante porzioni di cerchio che conformeranno l’arco;  facendo centro in C1 si traccia la circonferenza di raggio C1A fino al punto F; allo stesso modo, facendo centro in C2 si traccia la circonferenza di raggio C2B fino al punto G; facendo centro in C3 si traccia la circonferenza di raggio C3E dal punto F al punto G.

Fig. 6

Fig. 6

Fig. 7

Fig. 7


Arco rampante

Quando i piani di imposta di un arco si trovano a quota differente l’arco viene detto rampante

Quando i piani di imposta di un arco si trovano a quota differente l'arco viene detto rampante


Arco rampante (segue)


La centina

La costruzione di un arco così come la costruzione di una volta, necessita di opere provvisionali dette centine atte ad agevolare e permettere il posizionamento dei vari conci, tra i quali sarà interposto un sottile strato di malta che servirà più che da legante, come materiale per regolarizzare le facce dei conci e renderle perfettamente complanari in modo che i carichi non subiscano deviazioni.

Armatura provvisoria centinata in legno per una volta a botte in muratura

Armatura provvisoria centinata in legno per una volta a botte in muratura


Rilievo dell’arco

Per il rilievo degli archi si può procedere utilizzando il metodo della trilaterazione a partire da una base nota AB, oppure rilevando il profilo dell’arco per punti, riconducendo l’operazione al metodo per ascisse e ordinate.

Le misure fondamentali da rilevare sono:

  • la quota all’imposta;
  • l’altezza in chiave;
  • la luce dell’arco.

Qualora la geometria non risultasse in modo evidente, sarà opportuno rilevare anche dei punti intermedi tra l’imposta e la chiave.

Gli strumenti da utilizzare sono:

  • l’asta telescopica;
  • il distanziometro laser.
Rilievo di un arco policentrico per trilaterazione

Rilievo di un arco policentrico per trilaterazione

Rilievo di un arco a tutto sesto e sesto ribassato con il metodo delle ascisse e delle ordinate (asta telescopica)

Rilievo di un arco a tutto sesto e sesto ribassato con il metodo delle ascisse e delle ordinate (asta telescopica)


Le lezioni del Corso

I materiali di supporto della lezione

Abbate F., Sollecitazione e forma. La forma delle strutture, Gallina, 2005.

AA.VV., Enciclopedia dell'Architettura, Garzanti, 1996.

AA.VV., Dizionario di Ingegneria, Utet, Torino 1970, 11 voll.

AA.VV., Dizionario universale dell'arte e degli artisti, Il Saggiatore, Milano, 1970, 4 voll.

Bini M., Tecniche grafiche di rappresentazione, Alinea, Firenze, 1986.

Breymann Gustav A., Archi, volte, cupole, Dedalo Librerie, 2003.

Capomolla R., Mornati S., Vittori C., Volte, solai e coperture, Roma 1995.

Chiaromonte F., Elementi di costruzione edilizia, Napoli, 1942.

Docci M., Maestri D., Manuale di rilevamento architettonico, Laterza, Roma, 1998.

Donghi D., Manuale dell'architetto, Utet Torino, 1923.

Galliani G.V. (a cura di), Dizionario degli Elementi costruttivi, Utet, Firenze, 2001.

Gesuele A., Pagliano A., Verza V., La Geometria animata, Cafoscarina, Venezia, 2007.

Macrì V. (a cura di ), Le strutture voltate. Storia, architettura, rappresentazione, Palermo, 2000.

Portoghesi P. (a cura di), Dizionario Enciclopedico di Architettura e Urbanistica, Gangemi Editore, 2007.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura. Applicazioni di geometria descrittiva, UTET, 1996.

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