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Antonella di Luggo » 28.Condizioni di appartenenza, parallelismo e perpendicolarità nel Metodo di Monge


Condizioni di appartenenza, parallelismo e perpendicolarità

Nel disegno delle proiezioni ortogonali talvolta, alcuni punti o rette appaiono coincidenti, mentre visti nello spazio risultano separati e distanti tra di loro.

Pertanto, per comprendere l’esatta conformazione geometrica di un oggetto nello spazio è necessario imparare a leggere, attraverso le proiezioni ortogonali, gli elementi geometrici per determinare se in una figura vi siano delle condizioni che stabiliscono le relazioni perticolari tra gli enti rappresentati.

Ha collaborato alla redazione di questa lezione l’arch. A. Paolillo.

Condizioni di appartenenza

  1. Appartenenza di un punto ad una retta;
  2. appartenenza di una retta ad un piano;
  3. appartenenza di un punto ad un piano;
  4. rette incidenti.

Problemi grafici di appartenenza

  1. Retta congiungente di punti;
  2. retta comune a due piani;
  3. piano determinato da due rette incidenti.

Condizioni di parallelismo e complanarità

  1. Retta per un punto parallela ad una retta data;
  2. piano per un punto parallelo ad un piano dato.

Condizioni di appartenenza

1. Appartenenza di un punto ad una retta (fig. 1)

Date le due proiezioni di una retta (r’ e r” ) un punto P è determinato quando se ne conosce almeno una proiezione.

Un punto ed una retta si appartengono se le immagini del punto appartengono alle immagini omonime della retta.

Fig. 1: Appartenenza di un punto ad una retta

Fig. 1: Appartenenza di un punto ad una retta


Condizioni di appartenenza (segue)

2. Appartenenza di una retta ad un piano (fig. 2)

Dati un piano generico α ed r una retta appartenente ad α, la retta interseca i piani di proiezione in Tr‘ e Tr”. Tali punti comuni alla retta e ai piani di proiezione appartengono anche al piano α e dunque alle tracce del piano α. Tutte le tracce delle rette appartenenti ad α appartengono alle tracce del piano stesso.

Una retta appartiene ad un piano se e solo se le sue tracce appartengono rispettivamente alle tracce omonime del piano.

3. Appartenenza di un punto ad un piano (fig. 3)

Per la geometria euclidea, un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta appartenente al piano.

Date le due tracce del piano α e date le due proiezioni del punto B si faccia passare per B una qualsiasi retta r del piano. Se le proiezioni del punto stanno sulle omonime proiezioni della retta, il punto è contenuto nel piano.

Un punto appartiene ad un piano se le proiezioni del punto appartengono alle rispettive proiezioni di una retta qualsiasi del piano.

Fig. 2: Appartenenza di una retta ad un piano

Fig. 2: Appartenenza di una retta ad un piano

Fig. 3: Appartenenza di un punto ad un piano

Fig. 3: Appartenenza di un punto ad un piano


Condizioni di appartenenza (segue)

4. Rette incidenti (fig. 4)

Due rette sono incidenti se hanno un punto in comune e se le proiezioni di quel punto si trovano nel punto comune delle proiezioni delle due rette.

La linea di richiamo delle proiezioni del punto deve passare per il punto comune delle proiezioni delle due rette.

Fig. 4: Rappresentazione di rette non incidenti e di rette incidenti

Fig. 4: Rappresentazione di rette non incidenti e di rette incidenti


Problemi grafici di appartenenza

1. Retta congiungente di punti (fig. 5)

Dati due punti Q e P, una retta r passa per i rispettivi punti se le proiezioni della retta passano per le omonime proiezioni dei punti.

2. Retta comune a due piani (fig. 6)

Dati due piani α e β non paralleli tra loro consideriamo la retta r di intersezione, comune ai due piani.

Una retta è comune a due piani quando le tracce delle retta r sono nei punti di intersezione delle tracce dei piani α e β.

Fig. 5: Rappresentazione di una retta congiungente di punti

Fig. 5: Rappresentazione di una retta congiungente di punti

Fig. 6: Rappresentazione di una retta comune a due piani

Fig. 6: Rappresentazione di una retta comune a due piani


Condizioni di appartenenza

3. Piano determinato da due rette r e s incidenti (fig. 7)

Due rette r ed s incidenti individuano un piano α.

Una retta appartiene ad un piano α quando le tracce della retta si trovano sulle tracce del piano.

Rappresentate le due rette incidenti, r ed s attraverso le tracce Tr‘ e Tr” e Ts‘ e Ts”, in modo che abbiano un punto in comune P (le cui tracce P’ e P” coincidono con i punti di l’intersezione delle immagini corrispondenti delle rette), le tracce t’α e t”α corrispondono alle rette congiungenti rispettivamente i punti Tr‘ e Ts‘, e Tr” e Ts”. Le tracce del piano α si intersecano sulla linea di terra.

Fig. 7: Rappresentazione di un piano determinato da due rette r e s incidenti

Fig. 7: Rappresentazione di un piano determinato da due rette r e s incidenti


Condizioni di parallelismo ed ortogonalità

Le proiezioni cilindriche conservano il parallelismo.

1. Retta per un punto parallela alla retta data (fig. 8 )

Due rette sono parallele se sono parallele le rispettive proiezioni.

Assegnata una retta r ed un punto P (esterno alla retta data) attraverso le due proiezioni r‘ ed r”, e P‘ e P”, per rappresentare la retta parallela ad r passante per P si tracciano le rette parallele alle proiezioni di r passanti per le rispettive proiezioni di P.

2. Piano per un punto parallelo ad un piano dato (fig. 9)

Due piani sono paralleli se sono parallele le rispettive tracce.

Posto che rette orizzontali hanno la prima proiezione parallela alla prima traccia del piano, si manda una orizzontale per P con la prima proiezione parallela alla prima traccia del piano. La seconda traccia del piano passa per To‘.

Fig. 8: parallela alla retta data passante per P

Fig. 8: parallela alla retta data passante per P

Fig. 9: Rappresentazione di un piano parallelo a quello dato e passante per P

Fig. 9: Rappresentazione di un piano parallelo a quello dato e passante per P


Le lezioni del Corso

I materiali di supporto della lezione

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli, 1999.

Docci M., Migliari R. , Scienza della rappresentazione. Fondamenti e applicazioni della geometria descrittiva, edizioni NIS, Roma, 1992.

Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Laterza, Bari, 2002.

Gesuele A., Pagliano A., Verza V., La Geometria animata: Lezioni multimediali di geometria descrittiva, Cafoscarina, Venezia, 2007.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura. Applicazioni di geometria descrittiva, UTET Università, 1996.

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