Antonella di Luggo » 28.Condizioni di appartenenza, parallelismo e perpendicolarità nel Metodo di Monge

Condizioni di appartenenza

1. Appartenenza di un punto ad una retta (fig. 1)

Date le due proiezioni di una retta (r’ e r” ) un punto P è determinato quando se ne conosce almeno una proiezione.

Un punto ed una retta si appartengono se le immagini del punto appartengono alle immagini omonime della retta.

Condizioni di appartenenza (segue)

2. Appartenenza di una retta ad un piano (fig. 2)

Dati un piano generico α ed r una retta appartenente ad α, la retta interseca i piani di proiezione in Tr‘ e Tr”. Tali punti comuni alla retta e ai piani di proiezione appartengono anche al piano α e dunque alle tracce del piano α. Tutte le tracce delle rette appartenenti ad α appartengono alle tracce del piano stesso.

Una retta appartiene ad un piano se e solo se le sue tracce appartengono rispettivamente alle tracce omonime del piano.

3. Appartenenza di un punto ad un piano (fig. 3)

Per la geometria euclidea, un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta appartenente al piano.

Date le due tracce del piano α e date le due proiezioni del punto B si faccia passare per B una qualsiasi retta r del piano. Se le proiezioni del punto stanno sulle omonime proiezioni della retta, il punto è contenuto nel piano.

Un punto appartiene ad un piano se le proiezioni del punto appartengono alle rispettive proiezioni di una retta qualsiasi del piano.

Condizioni di appartenenza (segue)

4. Rette incidenti (fig. 4)

Due rette sono incidenti se hanno un punto in comune e se le proiezioni di quel punto si trovano nel punto comune delle proiezioni delle due rette.

La linea di richiamo delle proiezioni del punto deve passare per il punto comune delle proiezioni delle due rette.

Problemi grafici di appartenenza

1. Retta congiungente di punti (fig. 5)

Dati due punti Q e P, una retta r passa per i rispettivi punti se le proiezioni della retta passano per le omonime proiezioni dei punti.

2. Retta comune a due piani (fig. 6)

Dati due piani α e β non paralleli tra loro consideriamo la retta r di intersezione, comune ai due piani.

Una retta è comune a due piani quando le tracce delle retta r sono nei punti di intersezione delle tracce dei piani α e β.

Condizioni di appartenenza

3. Piano determinato da due rette r e s incidenti (fig. 7)

Due rette r ed s incidenti individuano un piano α.

Una retta appartiene ad un piano α quando le tracce della retta si trovano sulle tracce del piano.

Rappresentate le due rette incidenti, r ed s attraverso le tracce Tr‘ e Tr” e Ts‘ e Ts”, in modo che abbiano un punto in comune P (le cui tracce P’ e P” coincidono con i punti di l’intersezione delle immagini corrispondenti delle rette), le tracce t’α e t”α corrispondono alle rette congiungenti rispettivamente i punti Tr‘ e Ts‘, e Tr” e Ts”. Le tracce del piano α si intersecano sulla linea di terra.

Condizioni di parallelismo ed ortogonalità

Le proiezioni cilindriche conservano il parallelismo.

1. Retta per un punto parallela alla retta data (fig. 8 )

Due rette sono parallele se sono parallele le rispettive proiezioni.

Assegnata una retta r ed un punto P (esterno alla retta data) attraverso le due proiezioni r‘ ed r”, e P‘ e P”, per rappresentare la retta parallela ad r passante per P si tracciano le rette parallele alle proiezioni di r passanti per le rispettive proiezioni di P.

2. Piano per un punto parallelo ad un piano dato (fig. 9)

Due piani sono paralleli se sono parallele le rispettive tracce.

Posto che rette orizzontali hanno la prima proiezione parallela alla prima traccia del piano, si manda una orizzontale per P con la prima proiezione parallela alla prima traccia del piano. La seconda traccia del piano passa per To‘.