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Il metodo di Monge – rappresentazione degli enti fondamentali

Gaspard Monge (1746-1818) ha definito il metodo della doppia proiezione ortogonale usato come rappresentazione fondamentale per la descrizione grafica di un qualsiasi oggetto nello spazio.

Lo sviluppo iniziale del metodo di Monge fu molto lento, forse per le limitate possibilità creative e soprattutto per la difficoltà di comprendere che le proiezioni ortogonali, al pari della prospettiva e dell’assonometria, sono in grado di descrivere un oggetto in maniera assolutamente completa e esaustiva tanto da poter fissare una corrispondenza biunivoca tra la rappresentazione e l’oggetto reale. La dimostrazione che tale corrispondenza biunivoca sussista per qualsiasi disegno che sia guidato da rigore scientifico è stata la svolta decisiva che ha permesso di aprire nuovi e inesplorati orizzonti nel campo della geometria descrittiva. Il metodo di Monge o della Doppia Proiezione Ortofonale si basa sul concetto di proiezione da due o più centri impropri in direzioni ortogonali a due o più piani di proiezione tra loro ortogonali. Tale metodo di rappresentazione mette in relazione pianta e prospetto di un oggetto tridimensionale permettendo di individuare inequivocabilmente la restituzione di qualsiasi misura, forma e volume.

Ha collaborato alla redazione di questa lezione l’arch. A. Paolillo.

Enti fondamentali nel metodo di Monge

Gli elementi di riferimento nel metodo di Monge sono:

due piani di proiezione con giacitura, rispettivamente, orizzontale e verticale, detti primo e secondo piano di proiezione, la cui retta di intersezione è detta linea di terra. In tal modo lo spazio risulta suddiviso in quattro diedri I, II, III, IV diedro e supposto l’osservatore nel I diedro, la linea di terra suddivide i piani in semipiano anteriore e posteriore, semipiano superiore e inferiore;
due centri di proiezione impropri con direzione, rispettivamente, perpendicolare ai piani di proiezione.

Dopo aver eseguito l’operazione di proiezione sul piano orizzontale (prima proiezione) e sul piano verticale (seconda proiezione), si opera il ribaltamento del piano di proiezione verticale in modo da farlo coincidere con il piano di proiezione orizzontale. In questo modo si rappresentano entrambe le proiezioni su di un solo piano, sul quale la linea di terra rappresenta l’asse di ribaltamento e quindi la separazione tra il primo ed il secondo piano di proiezione. Le due proiezioni ottenute hanno un rapporto di corrispondenza biunivoca.

Metodo di Monge o della doppia proiezione ortogonale

Proiezione del punto

Definito nello spazio il sistema di riferimento costituito dai due piani di proiezione e dai due centri di proiezione, per determinare le proiezioni ortogonali di un punto P posto nel primo diedro si tracciano per il punto P le rette perpendicolari ai due piani di proiezione.

La prima proiezione P₁ di P su π1 è il piede della perpendicolare passante per P al piano orizzontale, cioè il suo punto di intersezione con il piano π1 .

La seconda proiezione P₂ di P su π2 è il piede della perpendicolare passante per P al piano verticale, cioè il suo punto di intersezione con il pianoπ2.

Il segmento P – P₁ determina la distanza del punto P dal primo piano di proiezione e viene detto quota del punto P.

Il segmento P – P₂ determina la distanza del punto P dal secondo piano di proiezione e viene detto aggetto del punto P.

Rappresentazione del punto

Proiezione della retta

Le proiezioni ortogonali di una retta obliqua rispetto ai due piani di proiezione sono rappresentate dalle due rette dette rispettivamente prima proiezione della retta su π1 e seconda proiezione della retta suπ2.

Tali proiezioni passano per i punti di intersezione della retta data con ciascuno dei due piani di proiezione. Il punto di intersezione della retta con il piano di proiezione si chiama traccia della retta.

Data una retta r si individuano le sue tracce suπ1 e π2, rispettivamente Tr₁ e Tr₂. Per determinare le proiezioni di una retta r è necessario individuare le proiezioni di due punti della retta, in particolare delle tracce Tr₁ e Tr₂. Poiché Tr₁ giace suπ1 la prima proiezione coincide con il punto stesso (si dice punto unito). La seconda proiezione di Tr₁ si troverà invece sulla linea di terra. Poiché Tr₂ si trova su π2 la prima proiezione si troverà sulla linea di terra, mentre la seconda proiezione coinciderà con il punto stesso (punto unito). Unendo rispettivamente le prime proiezioni e poi le seconde proiezioni dei punti Tr₁ e Tr₂ si otterranno le due proiezioni della retta r, r₁ e r₂.

Rappresentazione della retta

Proiezione della retta

Posizioni particolari della retta rispetto ai piani di proiezione:

rette perpendicolari al piano orizzontale sono rappresentate in prima proiezione da un punto (che è anche traccia della retta) e in seconda proiezione da una retta verticale;
rette perpendicolari al piano verticale sono rappresentate in prima proiezione da una retta orizzontale e in seconda proiezione da un punto (che è anche traccia della retta);
rette parallele alla linea di terra hanno per proiezione due rette orizzontali;
rette parallele al primo piano di proiezione sono dette orizzontali e sono rappresentate in prima proiezione da una retta comunque inclinata e in seconda proiezione da una retta parallela alla linea di terra;
rette parallele al secondo piano di proiezione sono dette frontali e sono rappresentate in prima proiezione da una retta parallela alla linea di terra e in seconda proiezione da una retta comunque inclinata.

Rappresentazione di rette in posizione particolare rispetto ai piani di proiezione

Proiezione del piano I

Le proiezioni di un piano α si ottengono, così come avviene con la retta, mediante l’individuazione delle sue tracce (cioè delle rette di intersezione del piano dato con i piani di proiezione). L’intersezione con il piano di riferimento π’ è indicata con t1α, prima traccia di α; analogamente la seconda traccia di α è indicata con t2α.

Posizioni particolari del piano rispetto ai piani di proiezione π1 e π2:

piano perpendicolare a π1 e a π2 = piano di profilo, le due proiezioni sono perpendicolari alla linea di terra;
piano parallelo alla linea di terra , le due proiezioni sono parallele alla linea di terra;
piano parallelo a π1 = piano orizzontale;
piano parallelo a π2 = piano di fronte.

Rappresentazione del piano

Rappresentazione di piani con giaciture particolari rispetto ai piani di proiezione

Proiezione del piano II

Altre possibili giaciture dei piani rispetto ai pianiπ1 e π2.

Piano perpendicolare a π1, piano proiettanti in prima proiezione: la prima proiezione risulta inclinata rispetto alla linea di terra in funzione della giacitura del piano, la seconda è perpendicolare alla linea di terra;
piano perpendicolare a π2, piano proiettanti in seconda proiezione: la prima proiezione risulta perpendicolare alla linea di terra, la seconda è inclinata rispetto alla linea di terra in relazione alla giacitura del piano.